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1、2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学 三 试题 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一 选择题 18 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求的 1 若函数 1cos 0 0 x x f x ax bx 在0 x处连续 则 A 1 2 ab B 1 2 ab C 0ab D 2ab 2 二元函数 3 zxyxy的极值点是 A 0 0 B 0 3 C 3 0 D 1 1 3 设函数 f x可导 且 0fx fx 则 A 1 1 ff B 1 1 ff C 1 1 ff D 1 1 ff 4 若续数 2 11 sinln 1 n k
2、 nn 收敛 则 k A 1 B 2 C 1 D 2 5 设为n维单位列向量 E为n阶单位矩阵 则 A E 不可逆 B E不可逆 C 2E 不可逆 D 2E不可逆 6 已知矩阵 200 021 001 A 210 020 001 B 100 020 002 C 则 A A与C相似 B与C相似 B A与C相似 B与C不相似 C A与C不相似 B与C相似 D A与C不相似 B与C不相似 7 设A B C为三个随机事件 且A与C相互独立 B与C相互独立 则AB与C相互独立的充 分必要条件是 A A与B相互独立 B A与B互不相容 C AB与C相互独立 D AB与C互不相容 8 设 1 2 2 n X
3、 XXn为来自总体 1 N的简单随机样本 记 1 1 n i i xx n 则下列结论正确的是 A 2 1 n i i x 服从 2 x分布 B 2 1 2 n xx服从 2 x分布 C 2 1 n i i xX服从 2 x分布 D 2 n X 服从 2 x分布 二 填空题 914 小题 每小题 4 分 共 24 分 9 322 sin xxdx 10 差分方程 1 22 t tt yy通解为 t y 11 设生产某产品的平均成本 1 q C qe 其中产量为q 则边际成本为 12 设函数 f x y 具有一阶连续偏导数 且 1 yy df x yye dxxy e dy 0 0 0f 则 f
4、 x y 13 设矩阵 101 112 011 A 1 2 3为线性无关的 3维列向量组 则向量组 1 A 2 A 3 A的秩 为 14 设随机变量 X的概率分布为 1 2 2 P X 1P Xa 3P Xb 若0EX 则DX 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 求 0 3 0 lim x t x xte dt x 16 本题满分 10 分 计算积分 3 242 1 D y dxdy xy 其中 D是第一象限中以曲线yx与 x 轴为边界的无界区域 17 本题满分 10 分 求 2 1 lim 1 n n k kk ln
5、n 18 本题满分 10 分 已知方程 11 ln 1 k xx 在区间 0 1 内有实根 确定常数k 的取值范围 19 本题满分 10 分 设 0 1a 1 0a 11 1 1 2 3 1 nnn anaan n xS为幂级数 0 n n n a x的和函数 I 证幂 0 n n n a x 的收敛半径不小于1 II 证 1 0 1 1 X S xxS xx 并求 S x表达式 20 本题满分 11 分 设 3 阶矩阵 123 A有 3 个不同的特征值 且 312 2 I 证明 2r A II 若 321 aaa 求方程组Ax的通解 21 本题满分 11 分 设二次型 222 1231231
6、21323 2282fx xxxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准形为 22 1122 yy 求a的值及一个正交矩阵Q 22 本题满分 11 分 设随机变来那个为X Y相互独立 且X的概率分布为 1 02 2 P XP XY的概率密度为 2 01 0 yy fy 其他 I 求 P YEY II 求ZXY的概率密度 23 本题满分 11 分 某工程师为了解一台天平的精度 用该天平对一物体的质量做n次测量 该物体的质量是已知的 设n次测量结果 12 n XXX相互独立且均服从正态分布 2 N 该工程师记录的是n次测量的绝对误 差1 2 ii ZXin 利用 12 n ZZZ估计 I 求 1 Z的概率密度 II 利用一阶矩求的矩估计量 III 求的最大似然估计量
