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1、 1 2008 年考研数学 三 真题 一 选择题 1 8 小题 每小题4 分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设函数 f x在区间 1 1 上连续 则0 x是函数 0 x f t dt g x x 的 A跳跃间断点 B可去间断点 C无穷间断点 D振荡间断点 2 曲线段方程为 yf x 函数 f x在区间 0 a上有连续的导数 则定积分 0 a t afx dx等于 A曲边梯形ABCD面积 B梯形ABCD面积 C 曲边三角形 ACD面积 D 三角形 ACD面积 3 已知 24 xy f x ye 则 A 0 0 x f 0 0
2、 y f 都存在 B 0 0 x f 不存在 0 0 y f 存在 C 0 0 x f不存在 0 0 y f不存在 D 0 0 x f 0 0 y f都不存在 4 设函数f连续 若 22 22 uv D fxy f u vdxdy xy 其中 uv D 为图中阴影部分 则 F u A 2 vf u B 2 v f u u C vf u D v f u u 5 设A为阶非 0 矩阵E为阶单位矩阵若 3 0A 则 A EA不可逆 EA不可逆 B EA不可逆 EA可逆 C EA可逆 EA可逆 DEA可逆 EA不可逆 6 设 12 21 A 则在实数域上域与A合同矩阵为 A 21 12 B 21 12
3、 C 21 12 D 12 21 7 随机变量 X Y独立同分布且X分布函数为F x 则max ZX Y分布函数为 2 A 2 Fx BF x Fy C 2 11Fx D11F xF y 8 随机变量 0 1X N 1 4Y N 且相关系数1 XY 则 A211P YX B211P YX C211P YX D211P YX 二 填空题 9 14 小题 每小题4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 设函数 2 1 2 xxc f x xc x 在 内连续 则c 10 设 3 4 1 1 xx f x xx 则 22 2 f x dx 11 设 22 1 Dx y xy 则 2 D
4、 xy dxdy 12 微分方程0 xyy满足条件 1 1y的解y 13 设 3 阶矩阵 A的特征值为 1 2 2 E为 3 阶单位矩阵 则 1 4 AE 14 设随机变量 X服从参数为 1 的泊松分布 则 2 P XEX 三 解答题 15 23 小题 共94 分 请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 15 本题满分10 分 求极限 2 0 1sin limln x x xx 16 本题满分10 分 设 zz x y是由方程 22 xyzxyz所确定的函数 其中具有 2 阶导数且1时 1 求dz 2 记 1 zz u x y xyxy 求 u x 17 本题
5、满分11 分 计算max 1 D xydxdy其中 02 02 Dx yxy 18 本题满分10 分 设fx是周期为2 的连续函数 3 1 证明对任意实数t 有 22 0 t t fx dxfx dx 2 证明 2 0 2 xt t G xf tfs ds dt是周期为 2 的周期函数 19 本题满分10 分 设银行存款的年利率为0 05r 并依年复利计算 某基金会希望通过存款A 万元 实现第一年提取 19 万元 第二年提取28 万元 第n 年提取 10 9n 万元 并能按此规律一直提取下去 问A至少应 为多少万元 20 本题满分12 分 设 矩 阵 2 2 21 2 1 2 n n a aa
6、 A aa 现 矩 阵A满 足 方 程A XB 其 中 1 T n Xxx 1 0 0B 1 求证1 n Ana 2 a为何值 方程组有唯一解 3 a为何值 方程组有无穷多解 21 本题满分10 分 设A为 3阶矩阵 12 a a为A的分别属于特征值1 1特征向量 向量 3 a满足 323 Aaaa 证明 1 123 a aa线性无关 2 令 123 Pa aa 求 1 PAP 22 本题满分11 分 设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立 X的 概 率 分 布 为 1 1 0 1 3 P Xii Y的 概 率 密 度 为 101 0 Y y fy 其它 记ZXY 1 求 1 0 2 P ZX
7、 2 求Z的概率密度 23 本题满分11 分 12 n XXX是总体为 2 N的简单随机样本 记 1 1 n i i XX n 22 1 1 1 n i i SXX n 2 2 1 TXS n 1 证T是 2 的无偏估计量 4 2 当0 1时 求DT 5 2008年考研数学 三 真题解析 一 选择题 1 答案 B 详解 0 000 lim limlim0 x xxx f t dt g xfxf x 所以0 x是函数 g x的可去间断点 2 答案 C 详解 0 0000 aaaa a xfx dxxdf xxf xf x dxaf af x dx 其中 af a是矩形ABOC面积 0 a fx
8、dx为曲边梯形 ABOD的面积 所以 0 a xfx dx为曲边三角形的面积 3 答案 B 详解 24 0 000 0 0 0 11 0 0 limlimlim 0 xx x xxx f xfee f xxx 00 11 limlim1 xx xx ee xx 00 11 limlim1 xx xx ee xx 故 0 0 x f 不存在 24 2 02 0000 0 0 0 11 0 0 limlimlimlim0 0 yy y yyyy fyfeey f yyyy 所以 0 0 y f 存在 故选 B 4 答案 A 详解 用极坐标得 2 22 2 22011 vuu fr r D fuv
9、Fu vdudvdvrdrvf rdr uv 所以 2 F vf u u 5 答案 C 详解 23 EAEAAEAE 23 EAEAAEAE 故 EA EA均可逆 6 答案 D 详解 记 12 21 D 则 212 14 21 ED 又 212 14 21 EA 6 所以 A和 D 有相同的特征多项式 所以A和 D 有相同的特征值 又A和D为同阶实对称矩阵 所以A和D相似 由于实对称矩阵相似必合同 故D正确 7 答案 A 详解 2 max ZZZZ FzP ZzPX YzP Xz P YzFz F zFz 8 答案 D 详解 用排除法 设YaX b 由1 XY 知道 X Y正相关 得0a 排除
10、A C 由 0 1 1 4 XNYN 得0 1 EXEY 所以 E YE aXbaEXb01 ab所以1b 排除B 故选择D 二 填空题 9 答案 1 详解 由题设知 0cx 所以 2 2 1 2 xxc f xxcxc xxc 因为 22 limlim 1 1 xcxc fxxc 22 limlim xcxc fx xc 又因为 f x在 内连续 f x必在xc处连续 所以limlim xcxc fxfxf c 即 2 2 11cc c 10 答案 1 ln 3 2 详解 2 2 2 11 1 1 1 2 xx xx fx x x x x x 令 1 tx x 得 2 2 t f t t 所
11、以 222222 2 2 222 111 ln2ln 6ln 2ln 3 2222 x fx dxdxx x 11 答案 4 详解 22221 2 DDD xy dxdyx dxdyxydxdy 利用函数奇偶性 21 2 00 1 24 dr rdr 12 答案 1 y x 7 详解 由 dyy dxx 两端积分得 1 lnlnyxC 所以 1 xC y 又 1 1y 所以 1 y x 13 答案 3 详解 A的特征值为1 2 2 所以 1 A 的特征值为1 1 2 1 2 所以 1 4AE的特征值为4 1 13 4 1 211 4 1 211 所以 1 43 1 13BE 14 答案 1 1
12、 2 e 详解 由 22 DXEXEX 得 22 EXDXEX 又因为X服从参数为1 的泊松分布 所以 1DXEX 所以 2 1 12EX 所以 2 11 11 2 22 P Xee 三 解答题 15 详解 方法一 22 00 1sin1sin limlnlimln 11 xx xx xxxx 32 000 sincos1sin1 limlimlim 366 xxx xxxx xxx 方法二 223 000 1sincossincossin limlnlimlim 2sin2 xxx xxxxxxx xxxxx 洛必达法则 2 0 sin1 lim 66 x xx x 洛必达法则 16 详解
13、I 22xdxydydzxyzdxdydz 122dzx dxy dy 22 1 x dxy dy dz1 II 由上一问可知 22 11 zxzy xy 所以 11221222 1111 zzxyyx u x y xyxyxyxy 所以 2233 2 2 1 2 1 2 12 2 1 2 1 1111 x z uxx x x 8 17 详解 曲线1xy将区域分成两 个区域 1D和23DD 为了便于计算继续对 区域分割 最后为 max 1 D xydxdy 123 DDD xydxdydxdydxdy 11 2222 2 111 000 22 11 x x dxdydxdydxxydy 15
14、1 2ln 2ln 2 4 19 ln 2 4 18 详解 方法一 I 由积分的性质知对任意的实数t 2022 02 tt tt fx dxfx dxfx dxfx dx 令2xu 则 20 200 2 ttt t fx dxfu dufu dufx dx 所以 20202 00 t ttt fx dxfx dxfx dxfx dxfx dx II 由 1 知 对任意的t有 22 20 t fx dxfx dx 记 2 0 afx dx 则 0 2 x G xfu duax 所以 对任意的 x 2 00 2 2 2 2 xx G xG xfu dua xfu duax 22 0 22220 x
15、 x fu duafu dua 所以G x是周期为2 的周期函数 方 法 二 I 设 2 t t F tf x dx 由 于 2 0F tf tf t 所 以 F t为 常 数 从 而 有 0 F tF 而 2 0 0 Ff x dx 所以 2 0 F tf x dx 即 22 0 t t f x dxf x dx II 由 I 知 对任意的t有 22 20 t fx dxfx dx 记 2 0 afx dx 则 0 2 x G xfu duax 2 0 2 2 2 x G xfu dua x 由于对任意x 2 2 2 2 G xf xaf xa 2 G xf xa O 0 5 2 x D1
16、D3D2 9 所以 2 0G xG x 从而 2 G xG x是常数 即有 2 2 0 0G xG xGG 所以G x是周期为2 的周期函数 19 详解 方法一 设 n A为用于第n年提取 109 n万元的贴现值 则 1 109 n n Arn 故 11111 10919 102009 1 1 1 1 nnnnn nnnnn nnn AA rrrr 设 1 1 1 n n S xnxx 因为 2 1 1 1 1 1 n n xx S xxxxx xx 所以 11 420 11 05 SS r 万元 故 2009 4203980A 万元 即至少应存入3980 万元 方法二 设第t年取款后的余款是 t y 由题意知 t y满足方程 1 10 05 109 tt yyt 即 1 1 05 109 tt yyt 1 1 对应的齐次方程 1 1 050 tt yy的通解为 1 05 t t yC 设 1 的通解为 t yatb 代入 1 解得180a 3980b 所以 1 的通解为 1 05 1803980 t t yCt 由 0 yA 0 t y得3980AC0C 故A至少为 3980 万元
