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1、 1 2007 年考研数学 三 真题 一 选择题 本题共10 分小题 每小题4 分 满分40 分 在每小题给的四个选项中 只有一项符合题目 要求 把所选项前的字母填在后边的括号内 1 当0 x 时 与x等价的无穷小量是 A 1 x e ln 1 Bx 11Cx 1cosDx 2 设函数 f x在0 x处连续 下列命题错误的是 A 若 0 lim x f x x 存在 则 0 0f B若 0 lim x f xfx x 存在 则 0 0f C 若 0 lim x f x x 存在 则 0 f存在 D 若 0 lim x f xfx x 存在 则 0 f存在 3 如图 连续函数 yf x在区间 3
2、 2 2 3 上的图形分别是直径为1 的上 下半圆周 在区间 2 0 0 2上图形分别是直径为2 的上 下半圆周 设 0 x F xf t dt 则下列结论正确的是 A 3 F 3 2 4 F B 3 F 5 2 4 F C 3 F 3 2 4 F D 3 F 5 2 4 F 4 设函数 f x y连续 则二次积分 1 sin 2 x dxf x y dy等于 A 1 0arcsin x dyf x y dx B 1 0arcsin y dyf x y dx C 1arcsin 0 2 y dyf x y dx D 1arcsin 0 2 y dyf x y dx 5 设某商品的需求函数为16
3、02Q 其中Q 分别表示需要量和价格 如果该商品需求弹性 的绝对值等于1 则商品的价格是 A 10 B 20 C30 D40 6 曲线 1 ln 1 x ye x 渐近线的条数为 A 0 B1 C2 D3 7 设向量组线性无关 则下列向量组线相关的是 A 122131 B 212331 C 122331 2 2 2 D 122331 2 2 2 8 设矩阵 211 121 112 A 100 010 000 B 则 A与 B 2 A 合同 且相似 B 合同 但不相似 C 不合同 但相似 D 既不合同 也不相似 9 某人向同一目标独立重复射击 每次射击命中目标的概率为 则此人第4 次射击恰好第2
4、 次命中目标的 概率为 2 3 1 App 2 6 1 Bpp 22 3 1 Cpp 22 6 1 Dpp 10 设随机变量 X Y服从二维正态分布 且 X 与Y不相关 xy fxfy分别表示X Y 的概率密度 则在Yy条件下 X的条件概率密度 X Y x y f为 A X fx B yfy C xy fx fy D x y fx fy 二 填空题 11 16 小题 每小题4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上 11 32 3 1 lim sincos 2 x x xx xx x 12 设函数 1 23 y x 则 0 n y 13 设 f u v是二元可微函数 y x zf xy
5、 则 zz y xy 14 微分方程 31 2 dyyy dxxx 满足 1 1 x y的特解为 15 设距阵 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A则 3 A的秩为 16 在区间 0 1 中随机地取两个数 这两数之差的绝对值小于 1 2 的概率为 三 解答题 17 24 小题 共 86 分 请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 17 本题满分10 分 设函数 yy x由方程ln0yyxy确定 试判断曲线 yy x在点 1 1 附近的凹凸性 18 本题满分11 分 设二元函数 3 2 22 1 1 12 xxy f x y xy
6、xy 计算二重积分 D f x y d 其中 2Dx yxy 19 本题满分11 分 设函数 f x g x在 a b上内二阶可导且存在相等的最大值 又 f a g a f b g b 证明 存在 a b使得 fg 存在 a b使得 fg 20 本题满分10 分 将函数 2 1 34 f x xx 展开成1x的幂级数 并指出其收敛区间 123 123 2 123 123 21 11 0 20 1 40 21 2 xxx xxax xxa x xxxa a 本题满分分 设线性方程组 与方程 有公共解 求的值及所有公共解 22 本题满分11 分 设 3 阶实对称矩阵A 的特征值 1231 1 2
7、2 1 1 1 T 是 A 的属于 1的一个特征向量 记 53 4BAAE 其中 E为 3 阶单位矩阵 验证 1是矩阵 B的特征向量 并求 B的全部特征值与特征向量 求矩阵B 23 本题满分11 分 设二维随机变量 X Y的概率密度为 2 01 01 0 xyxy f x y 其他 求2P XY 求ZXY的概率密度 Z fz 24 本题满分11 分 4 设总体X的概率密度为 1 0 2 1 1 2 1 0 x f xx 其他 其中参数 01 未知 12 n XXX是来自总体X的简单随机样本 X是样本均值 求参数的矩估计量 判断 2 4X是否为 2 的无偏估计量 并说明理由 5 2007 年考研
8、数学 三 真题 一 选择题 本题共10 分小题 每小题4 分 满分40 分 在每小题给的四个选项中 只有一项符合题目 要求 把所选项前的字母填在后边的括号内 1 当0 x 时 与x等价的无穷小量是 B A 1 x e ln 1 Bx 11Cx 1cosDx 2 设函数 f x在0 x处连续 下列命题错误的是 D A 若 0 lim x f x x 存在 则 0 0f B若 0 lim x f xfx x 存在 则 0 0f C 若 0 lim x fx x 存在 则 0 f存在 D若 0 lim x f xfx x 存在 则 0 f存在 3 如图 连续函数 yf x在区间3 2 2 3上的图形
9、分别是直径为1 的上 下半圆周 在区间 2 0 0 2上图形分别是直径为2 的上 下半圆周 设 0 x F xf t dt 则下列结论正确的是 C A 3 F 3 2 4 F B 3 F 5 2 4 F C 3 F 3 2 4 F D 3 F 5 2 4 F 4 设函数 f x y连续 则二次积分 1 sin 2 x dxf x y dy等于 B A 1 0arcsin x dyfx y dx B 1 0arcsin y dyf x y dx C 1arcsin 0 2 y dyf x y dx D 1arcsin 0 2 y dyf x y dx 5 设某商品的需求函数为1602Q 其中Q
10、分别表示需要量和价格 如果该商品需求弹性 的绝对值等于1 则商品的价格是 D A 10 B 20 C30 D40 6 曲线 1 ln 1 x ye x 渐近线的条数为 D A 0 B1 C2 D3 7 设向量组线性无关 则下列向量组线相关的是 A A 122131 B 212331 C 122331 2 2 2 D 122331 2 2 2 8 设矩阵 211 121 112 A 100 010 000 B则 A与 B B 6 A 合同 且相似 B 合同 但不相似 C 不合同 但相似 D 既不合同 也不相似 9 某人向同一目标独立重复射击 每次射击命中目标的概率为 则此人第4 次射击恰好第2
11、次命中目标的 概率为 C 2 3 1 App 2 6 1 Bpp 22 3 1 Cpp 22 6 1 Dpp 10 设随机变量 X Y服从二维正态分布 且 X 与Y不相关 xy fxfy分别表示X Y 的概率密度 则在Yy条件下 X的条件概率密度 X Y x y f为 A A X fx B yfy C xy fx fy D x y fx fy 二 填空题 11 16 小题 每小题4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上 11 32 3 1 lim sincos 0 2 x x xx xx x 12 设函数 1 23 y x 则 1 1 2 0 3 nn n n n y 13 设 f
12、u v是二元可微函数 y x zf xy 则 12 2 2 zzyyxxyx yff xyxxyyxy 14 微分方程 3 1 2 dyyy dxxx 满足 1 1 x y的特解为 2 2 1ln x y x 15 设距阵 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A 则 3 A的秩为 1 16 在区间 0 1 中随机地取两个数 这两数之差的绝对值小于 1 2 的概率为 3 4 三 解答题 17 24 小题 共 86 分 请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 17 本题满分10 分 设函数 yy x由方程ln0yyxy确定 试判断曲线
13、yy x在点 1 1 附近的凹凸性 详解 7 1 2 2 1 1 1 ln210 2ln 11 2ln12 1 2ln 0 2ln 1 0 1 2ln1 8 1 1 x x x yyyy y y y yyyyy yyy y y yy x 对方程两边求导得 从而有 再对两边求导得 求在 1 1 的值 所以在点处是凸的 18 本题满分11 分 设二元函数 2 22 1 1 12 xxy f x y xy xy 计算二重积分 D f x y d 其中 2Dx yxy 详解 积分区域D 如图 不难发现D 分别关于x 轴和 y 轴对称 设 1 D是 D 在第一象限中的部分 即 1 0 0DDx y xy
14、 利用被积函数 f x y无论关于x 轴还是关于y 轴对称 从而按二重积分的简化计算法则可得 1 4 DD f x y df x y d 设 11112 DDD 其中 1112 1 0 0 12 0 0Dx y xyxyDx yxyxy 于是 11112 1112 2 4 4 4 44 DDDD DD f x y df x y dfx y df x y d x df x y d 由于 11 01 01Dx yxyx 故 11 111 222 000 111 1 3412 x D x dx dxdyxx dx 为计算 12 D上的二重积分 可引入极坐标 r满足cos sinxryr 在极坐标系
15、r中1xy 的方程是 1 2 cossin rxy 的方程是 2 cossin r 因而 8 12 12 0 2 cossincossin Dr 故 12 2 2cossin2 1 2200 cossin 1 cossin D dr ddrd r xy 令tan 2 t作换元 则2arctant 于是 0 01 2 t且 2 222 212 cos sin 111 dttt d ttt 代入即得 12 11 2 22 22000 011 22 100 1 0 122 1 cossin122 1 22111 22 222 12121 lnln2 ln 21 22221 D ddtdt dtu t
16、tt xy dudu du uu uu u u 综合以上计算结果可知 11 44ln 21 4ln 21 123 D f x y d 19 本题满分11 分 设函数 f x g x在 a b上内二阶可导且存在相等的最大值 又 f a g a f b g b 证明 存在 a b使得 fg 存在 a b使得 fg 详解 证明 1 设 f xg x在 a b内某点 ca b同时取得最大值 则 f cg c 此时的 c 就 是所求点 fg使得 若两个函数取得最大值的点不同则有设 m a x fcfxgdgx故有 0 0f cg cg df d 由介值定理 在 c d内肯 定存在 fg使得 2 由 1 和罗尔定理在区间 ab内分别存在一点 1212 ff使得 0 在区间 12 内再 用罗尔定理 即 a bfg存在 使得 9 20 本题满分10 分 将函数 2 1 34 f x xx 展开成1x的幂级数 并指出其收敛区间 详解 1 0 2 0 0 1111 4 1 51 312 1111 513512 111111 1 5415153 1 3 1 124 3 111111 1 1 5110102
