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1、26 3实际问题与二次函数 何时围得最大面积 1 二次函数y ax2 bx c a 0 的顶点坐标 对称轴和最值2 1 求函数y x2 2x 3的最值 2 求函数y x2 2x 3的最值 0 x 3 3 抛物线在什么位值取最值 复习引入 注 1 自变量X的取值范围为一切实数 顶点处取最值 2 有取值范围的在端点和顶点处取最值 用总长为60米的篱笆围成矩形场地 矩形面积s随矩形一边长L的变化而变化 当L是多少时 场地的面积S最大 问题 x y O 30 x A B C D 例1 小明的家门前有一块空地 空地外有一面长10米的围墙 为了美化生活环境 小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 他买回了32
2、米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏 如图所示 花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大 各边取整数 则AB 32 2x 米 设矩形面积为y米2 得到 Y x 32 2x 2x2 32x由顶点公式得 x 8米时 y最大 128米2 10米 x 32 2x 解 设AD x米 错解 而实际上定义域为11 x 16 由图象或增减性可知x 11米时 y最大 110米2 例2 如图在 ABC中 AB 8cm BC 6cm B 90 点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米 秒的速度移动 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米 秒的速度移动 如果P Q分别从A B同时出发 几秒后 PBQ的面积最大 最大面积是
3、多少 P Q 2cm 秒 1cm 秒 解 根据题意 设经过x秒后 PBQ的面积y最大 AP 2xcmPB 8 2x cm QB xcm x2 4x x2 4x 4 4 x 2 2 4 所以 当P Q同时运动2秒后 PBQ的面积y最大 最大面积是4cm2 0 x 4 P Q 2cm 秒 1cm 秒 则y x 8 2x 练习1 如图 在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆 围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽AB为x米 面积为S平方米 1 求S与x的函数关系式及自变量的取值范围 2 当x取何值时所围成的花圃面积最大 最大值是多少 3 若墙的最大可用长度为8米 则求围成花圃的最大面积 解 1
4、AB为x米 篱笆长为24米 花圃宽为 24 4x 米 3 墙的可用长度为8米 2 当x 时 S最大值 36 平方米 S x 24 4x 4x2 24x 0 x 6 0 24 4x 84 x 6 当x 4m时 S最大值 32平方米 x 24 4x 在矩形荒地ABCD中 AB 10 BC 6 今在四边上分别选取E F G H四点 且AE AH CF CG x 建一个花园 如何设计 可使花园面积最大 D C A B G H F E 10 6 再显身手 解 设花园的面积为y则y 60 x2 10 x 6 x 2x2 16x 0 x 6 2 x 4 2 32 所以当x 4时花园的最大面积为32 2 x
5、x x x 10 x 6 x 练习4 室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积 如果计划用一段长12m的铝合金材料 制作一个上部是半圆 下部是矩形的窗框 那么当矩形的长 宽分别为多少时 才能使该窗户的透光面积最大 精确到0 1m 窗户的透光面积 半圆的面积 矩形的面积 解 设矩形窗框的宽为 m 则半圆形窗框的半径为 m 矩形窗框的高为 m 2x x 6 2x 0 5 x 2x 设窗户的透光面积为Sm2 则 S x2 2x 6 2x 0 5 x 4 x2 12x 1 1时 s的值最大 即当矩形窗框宽约2 2m 高约2 1m时 透光面积最大 何时窗户通过的光线最多 某建筑物的窗户如图
6、所示 它的上半部是半圆 下半部是矩形 制造窗框的材料总长 图中所有的黑线的长度和 为15m 当x等于多少时 窗户通过的光线最多 结果精确到0 01m 此时 窗户的面积是多少 驶向胜利的彼岸 1 设矩形的一边AB xcm 那么AD边的长度如何表示 2 设矩形的面积为ym2 当x取何值时 y的最大值是多少 何时面积最大 如图 在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD 其中AB和AD分别在两直角边上 驶向胜利的彼岸 M N 1 设矩形的一边AB xcm 那么AD边的长度如何表示 2 设矩形的面积为ym2 当x取何值时 y的最大值是多少 何时面积最大 如图 在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD 其
7、中AB和AD分别在两直角边上 驶向胜利的彼岸 xcm bcm 1 如果设矩形的一边AD xcm 那么AB边的长度如何表示 2 设矩形的面积为ym2 当x取何值时 y的最大值是多少 何时面积最大 如图 在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD 其中AB和AD分别在两直角边上 驶向胜利的彼岸 bcm xcm 1 设矩形的一边BC xcm 那么AB边的长度如何表示 2 设矩形的面积为ym2 当x取何值时 y的最大值是多少 何时面积最大 如图 在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD 其中点A和点D分别在两直角边上 BC在斜边上 驶向胜利的彼岸 xcm bcm 四 师生小结 1 对于面积最值问题应该设图形一边长为自变量 所求面积为函数建立二次函数的模型 利用二次函数有关知识求得最值 要注意函数的定义域 2 用函数知识求解实际问题 需要把实际问题转化为数学问题再建立函数模型求解 解要符合实际题意 要注意数与形结合
