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1、 键入文档标题 第 1 页 共 27 页 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷 数学 理 注意事项 1 答题前 先将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3 非选择题的作答 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 写在试题卷 草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效 4 考试结束后 请将本试题卷和答题卡一并上交 第一部分 选择题共 40 分 一 选择题共8 小题 每小题5 分 共 40 分 在每小题列出的
2、四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 已知集合 A x x 2 B 2 0 1 2 则AB A 0 1 B 1 0 1 C 2 0 1 2 D 1 0 1 2 2 在复平面内 复数 1 1i 的共轭复数对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 执行如图所示的程序框图 输出的s值为 A 1 2 B 5 6 C 7 6 D 7 12 键入文档标题 第 2 页 共 27 页 4 十二平均律 是通用的音律体系 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例 为这个理论的发展做 出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份 依次得到十三个单音 从第二个单音起 每一个单音的
3、频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2 若第一个单音的频率为f 则第八个单音 的频率为 A 3 2 f B 32 2 f C 125 2 f D 127 2 f 5 某四棱锥的三视图如图所示 在此四棱锥的侧面中 直角三角形的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 6 设 a b 均为单位向量 则 33abab 是 a b 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 在平面直角坐标系中 记d 为点 P cos sin 到直线20 xmy的距离 当 m 变化时 d 的 最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 8 设集合 1 4 2 Ax
4、 yxyaxyxay则 A 对任意实数 a 2 1 A B 对任意实数 a 2 1 A C 当且仅当af 0 对任意的x 0 2 都成立 则f x 在 0 2 上是增函数 为假命题的 一个函数是 14 已知椭圆 22 22 1 0 xy Mab ab 双曲线 22 22 1 xy N mn 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四 个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点 则椭圆M 的离心率为 双曲线 N 的离心率为 三 解答题 共6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题13 分 在 ABC中 a 7 b 8 cosB 1 7 求 A 求AC边上的高
5、16 本小题14 分 如图 在三棱柱ABC 111 A BC 中 1 CC 平面 ABC D E F G 分别为1 AA AC 11 AC 1 BB 的中点 AB BC 5 AC 1 AA 2 求证 AC 平面 BEF 求二面角B CD C1的余弦值 证明 直线FG与平面 BCD相交 键入文档标题 第 4 页 共 27 页 17 本小题12 分 电影公司随机收集了电影的有关数据 经分类整理得到下表 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数140 50 300 200 800 510 好评率0 4 0 2 0 15 0 25 0 2 0 1 好评率是指 一类电影中获得好评的部数与该
6、类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立 从电影公司收集的电影中随机选取1 部 求这部电影是获得好评的第四类电影的概率 从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部 估计恰有1 部获得好评的概率 假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等 用 1 k 表示第 k 类电 影得到人们喜欢 0 k 表示第 k 类电影没有得到人们喜欢 k 1 2 3 4 5 6 写出方差1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 的大小关系 18 本小题 13分 设函数 f x 2 41 43axaxa ex 若曲线 y f x 在点 1 1 f 处的切线与 x轴平行 求 a 若 f x
7、 在x 2处取得极小值 求a的取值范围 键入文档标题 第 5 页 共 27 页 19 本小题14 分 已知抛物线C 2 y 2px 经过点P 1 2 过点 Q 0 1 的直线 l 与抛物线C有两个不同的交点A B 且直线PA交 y 轴于 M 直线 PB交 y 轴于 N 求直线l 的斜率的取值范围 设O 为原点 QMQO QNQO 求证 11 为定值 20 本小题 14分 设n 为正整数 集合A 12 0 1 1 2 nn t tttkn 对于集合A 中的任意元素 12 n xxx 和 12 n y yy 记 M 11112222 1 2 nnnnxyxyxyxyxyxy 当n 3 时 若 1
8、1 0 0 1 1 求 M 和 M 的值 当 n 4 时 设 B是 A 的子集 且满足 对于 B中的任意元素 当 相同时 M 是奇数 当 不同时 M 是偶数 求集合B 中元素个数的最大值 学 科网 给定不小于2 的 n 设 B 是 A 的子集 且满足 对于B中的任意两个不同的元素 M 0 写出一个集合B 使其元素个数最多 并说明理由 键入文档标题 第 6 页 共 27 页 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一 选择题 1 A 2 D 3 B 4 D 5 C 6 C 7 C 8 D 二 填空题 9 63nan 10 12 11 2 3 12 3 13 y sinx
9、不答案不唯一 14 312 三 解答题 15 共 13 分 解 在 ABC中 cosB 1 7 B 2 sinB 24 3 1cos 7 B 由正弦定理得 sinsin ab AB 7 sin A 8 4 3 7 sinA 3 2 B 2 A 0 2 A 3 在 ABC中 sinC sin A B sinAcosB sinBcosA 3114 3 2727 3 3 14 如图所示 在 ABC中 sinC h BC h sinBCC 3 33 3 7 142 AC边上的高为 3 3 2 16 共 14 分 解 在三棱柱ABC A1B1C1中 键入文档标题 第 7 页 共 27 页 CC 1 平面
10、 ABC 四边形A1ACC 1为矩形 又 E F分别为 AC A1C1的中点 AC EF AB BC AC BE AC 平面 BEF 由 I 知 AC EF AC BE EF CC 1 又 CC 1 平面 ABC EF 平面 ABC BE平面 ABC EF BE 如图建立空间直角坐称系E xyz 由题意得B 0 2 0 C 1 0 0 D 1 0 1 F 0 0 2 G 0 2 1 20 1 1 2 0 CDCB uu u ruu r 设平面 BCD的法向量为 a b c n 0 0 CD CB uu u r uur n n 20 20 ac ab 令 a 2 则 b 1 c 4 平面 BCD
11、的法向量 214 n 又 平面CDC1的法向量为 02 0 EB uu r 21 cos 21 EB EB EB uu r uu r uu r n n n 由图可得二面角B CD C1为钝角 所以二面角B CD C1的余弦值为 21 21 平面BCD的法向量为 214 n G 0 2 1 F 0 0 2 键入文档标题 第 8 页 共 27 页 02 1 GF uuu r 2GF uuu r n n与 GF uu u r 不垂直 GF与平面 BCD不平行且不在平面BCD内 GF与平面 BCD相交 17 共 12 分 解 由题意知 样本中电影的总部数是140 50 300 200 800 510
12、2000 第四类电影中获得好评的电影部数是200 0 25 50 故所求概率为 50 0 025 2000 设事件A 为 从第四类电影中随机选出的电影获得好评 事件 B 为 从第五类电影中随机选出的电影获得好评 故所求概率为P ABAB P AB P AB P A 1 P B 1 P A P B 由题意知 P A 估计为0 25 P B 估计为0 2 故所求概率估计为0 25 0 8 0 75 0 2 0 35 1D 4D 2D 5D 3D 6D 18 共 13 分 解 因为 f x 2 41 43axaxa e x 所以 f x 2ax 4a 1 e x ax 2 4a 1 x 4a 3 e
13、 x x R ax 2 2a 1 x 2 ex f 1 1 a e 由题设知f 1 0 即 1 a e 0 解得 a 1 此时 f 1 3e 0 所以 a 的值为 1 由 得f x ax2 2a 1 x 2 ex ax 1 x 2 e x 若 a 1 2 则当 x 1 a 2 时 f x 0 所以 f x 0 在 x 2 处取得极小值 若 a 1 2 则当 x 0 2 时 x 2 0 ax 1 1 2 x 10 键入文档标题 第 9 页 共 27 页 所以 2 不是 f x 的极小值点 综上可知 a 的取值范围是 1 2 19 共 14 分 解 因为抛物线y2 2px 经过点 P 1 2 所以
14、 4 2p 解得 p 2 所以抛物线的方程为y2 4x 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0 设直线 l 的方程为y kx 1 k 0 由 2 4 1 yx ykx 得 22 24 10k xkx 依题意 22 24 410kk 解得 k 0 或 0 k 1 又 PA PB与 y 轴相交 故直线l 不过点 1 2 从而 k 3 所以直线l 斜率的取值范围是 3 3 0 0 1 设A x1 y1 B x2 y2 由 I 知 12 2 24k xx k 12 2 1 x x k 直线 PA的方程为y 2 1 1 2 2 1 1 y yx x 令 x 0 得点 M 的纵坐标为 11 11 21 22
15、 11 M ykx y xx 同理得点N 的纵坐标为 2 2 1 2 1 N kx y x 由 QMQO uuu ruuu r QNQO uuu ruuu r 得 1 M y 1 N y 所以 22 121212 1212 2 224 112 111111 2 1 11 1 1 11 MN k xxx xxx kk yykxkxkx xk k 所以 11 为定值 学科 网 20 共 14 分 解 因为 1 1 0 0 1 1 所以 M 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 M 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 键入文档标题 第 10 页 共 27
16、 页 设 x1 x 2 x 3 x 4 B 则 M x1 x2 x3 x4 由题意知 x1 x2 x3 x4 0 1 且M 为奇数 所以 x1 x 2 x 3 x 4中 1 的个数为 1 或 3 所以 B 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 将上述集合中的元素分成如下四组 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 经验证 对于每组中两个元素 均有 M 1 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素 所以集合 B中元素的个数不超过4 又集合 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 满足条件 所以集合B中元素个数的最大值为4 设Sk x1 x2 xn x1 x 2 xn A xk 1 x1 x2 xk 1 0 k 1 2 n Sn 1 x1 x2 xn x1 x2 xn 0 则 A S1 S1 Sn 1 对于 Sk k 1 2 n 1 中的不同元素 经验证 M 1 所以 Sk k 1 2
