《中国数学奥林匹克第二十一届全国中学生数学冬令营试题及解答(20200322235740).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中国数学奥林匹克第二十一届全国中学生数学冬令营试题及解答(20200322235740).pdf（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2006 中国数学奥林匹克 第二十一届全国中学生数学冬令营 第一天 福州1 月 12 日 上午 8 00 12 30 每题21 分 一 实数满足 12 n aaaL 12 0 n aaa L 求证 1 2 2 1 1 1 max 3 n ki kn i n aa i a 1 k aad 2111 kkkknkkkn aaddaaddd LL 1 证明只需对任意 1 证明不等式成立即可 kn 记 则 1 1 2 kkk daakn L k aa 1kkk 11212112 kkkkkkkkkk aadaaddaaddd LL 12 0 n aaa L把上面这 n 个等式相加 并利用可得 1112
2、1 1 1 2 kkknkk nank dnkddkdkdd LL0 1 2 由 Cauchy 不等式可得 2 2 1112 1 1 2 kkknkk nank dnkddkdkdd LL 11 22 111 kn kn i iii iid 111 22 111 1 21 6 nnn ii iii n nn idd 2 31 2 13 n i i n d 1 2 2 1 1 3 n ki i n aaa 所以 i 200512 232006 aaa aaa L二 正整数 可以有相同的 使得 122006 aaaL两 两不相等 问 中最少有多少个不同的数 122006 aaaL 解答案 中最少有
3、 46 个互不相同的数 122006 aaaL 由于 45 个互不相同的正整数两两比值至多有45 44 1 1981 个 故 中互不相同的数大于45 122006 aaaL 下面构造一个例子 说明46 是可以取到的 设为 46 个互不相同的素数 构造如下 124 pppL 122006 aaaL 6 11213231434241 p ppp pppp pppppp L 11221 kkkkkkk pppppppppp LL 14544454345452451 p pppppppppL 4645464446462246 ppppppppL 这 2006 个正整数满足要求 所以中最少有 46 个互
4、不相同的数 122006 a aaL 2 3mnkk 三 正整数m n k 满足 证明不定方程 22 114xym 22 114xyn 和 中至少有一个有奇数解 xy 证明首先我们证明如下一个 引理 不定方程 22 114xy m 00 xy 或有满足或有奇数解 00 21 mod xkym 00 xy 其中 k是整数 的偶数解 引理的证明考虑如下表示 21 xky 2 xx ym 0为整数 且 0 2 m y 211 2 m m 12 0 2x xm m 则共有个表示 因此存在整数 12 0 2 m yy 1122 xyxy 且 满足 1122 21 21 mod xkyxkym 这表明 2
5、1 mod xkym 122 1 xxxyyy 由此可得这里 2222 21 11 mod xkyym 2 2 m xmy 22 11xykm 所以 因为故 2211 1147 4 xymm m 22 112xym 于是1 因为 m为奇数 6k 22 116xy m显然没有整数解 22 11xym 00 2 2xx yy 1 若 则是方程 满足 的解 22 114xy m 00 xx yy 2 若是方程 满足 的解 则 3 若 22 113xy m 则 22 2 111134xyxym m xx首先假设 3m 若 则0 mod 3 y mod3 y0 mod 3 且 00 11 33 xyx
6、xy y xy 0 mod 3 是方程 满足 的解 若 则 00 11 33 xyy xy x 是方程 满足 的解 3 m现在假设 则公式 和 仍然给出方程 的整数解 若方程 有偶数解 010 2 2 1 xxyy 则 22 22 111111 113651111 5 xymmxyyx m 11 511xy 因为 1 1 xy 1 5 1 yxm都为奇数 的奇偶性不同 所以 111 00 5115 33 1 xyy xy x 是方程 的一奇数解 若 则 mod3 xy 111 00 5115 33 1 xyy xy x 1 x 1 mod3 y是方程 的一奇数解 若 则 4 22 115xy
7、m 则 22 2 5431111 3mxyyx m 当 5m时 若 或1 mod 5 2 mod 5 xy m2 mod 5 1 mod 5 xy 则 00 3113 55 xyy xy x 是方程 满足 的解 若 或1 mod 5 2 mod 5 xy 2 mod 5 1 mod 5 xy m 则 00 3113 55 xyy xy x 是方程 满足 的解 5 m当 则公式 和 仍然给出方程 的整数解 若方程 有偶数解 010 2 2 1 xxyy 则 22 11 11 xym 1 x 1 mod2 y 可得 22 1111 10033113mxyyx m 若 或者 11 0 mod 5 x
8、y 11 1 mod5 2 mod 5 xy 或者 111 00 333 55 1 xyy xy x 11 2 mod5 1 mod5 xy m 则是方程 的一奇数 解 若 或 11 1 mod5 2 mod 5 xy m 11 2 mod5 1 mod5 xy 则 111 00 3333 55 1 xyy xy x 是方程 的一奇数解 引理证毕 00 xy由引理 若方程 没有奇数解 则它有一个满足 的偶数解 令 考虑二次方程2lk 1 22 00 10mxly xny 222 00000 44 22 lyl ymnymlyx x mm 则 1 x 即这表明方程 至少有一个整数根 22 101
9、0 10mxly xny 1 x 必为奇数 将 乘以4n 后配方得 上式表明 2 2 011 211nylxxn4 22 114xy n 101 2 xnylxyx 这表明方程有奇数解 2006 中国数学奥林匹克 第二十一届全国中学生数学冬令营 第二天 福州1 月 13 日 上午 8 00 12 30 每题21 分 四 在直角三角形ABC 中 90ACB ABC 的内切圆 O 分 别与边 BC CA AB 相切于点D E F 连接 AD 与内切圆O 相 交于点 P 连接 BP CP 若AEAPPD 90BPC 求证 证明 设 AE AF x BD BF y CD CE z AP m PD n
10、因为 所以90ACPPCBPBCPCB ACPPBC Q P F E D C B A 延长 AD 至 Q 使得AQCACPPBC 连接 BQ CQ 则 P B Q C 四点共圆 令 DQ l 则由相交弦定理和切割线定理可得 yznl 2 xm mn ACAP AQAC 因为 ACP 故AQC 所以 2 xzm mnl 在 Rt ACD 和 Rt ACB中 由勾股定理得 22 2 xzzmn 22 2 yzzxxy 2 2zzxml 得 2 2 yzn zzxm 得 2 1 2 yzmn zzxm 所以 2 22 2 2 x yz22 xmnxzz zzx 结合 得 2 2 2 x y z xz
11、 zx 整理得 2xy xz yz 又 式可写为 4 2 xz zxy 由 得 z 2xz yz xz 11又 式还可写为 把上式代入 消去 得 yz 22 322xxzz0 71 3 xz 解得 代入 11 得 275 yz 将上面的 x y 代入 得 2 71 3 mnz 2 71 6 x mz mn 结合 得 71 2 nz 从而 xmn 即AEAPPD 所以 1 1 2 a 五 实数列 n a 满足 1 1 2 kk k aa a 1 2 k L 证明不等式 12 1212 111 11 2 n nn n n aaan aaanaaa L L L 11 L 2 1 2 1 0 nan
12、证明首先 用数学归纳法证明 1 n时 命题显然成立 2 1 0 即命题对 n 1 也成立 原命题等价于 1212 1 2 nn nn nn aaaaaa LL 12 111 11 n aaa 1 L 12 1 0 2 xx 11 ln1 0 2 f xx x f x设 则是凸函数 即对 有 12 12 22 fxfx xx f 1 12 22 2 fxfx xx f 等价于事实上 2 1212 211 11 xxxx 1 2 12 0 xx 所以 由 Jenson 不等式可得 12 12nn fxfxfx xxx f nn L L 1212 111 111 nn n n aaaaaa 1 L
13、L 即 另一方面 由题设及Cauchy不等式 可得 11 1 1 1 nn i ii ii an aa 22 111 11 2 nn iini ii nn nn aaaaa 2 11 1 22 nn ii ii nn nn aa 1 111 1 1 2 n i i nnn iii iii a nn aaa 所以 12 121212 1 1 1 1 2 nnn n nnn aaann aaaaaaaaa L LLL 故 12 111 11 n aaa 1 L 从而原命题得证 六 设 X 是一个 56 元集合 求最小的正整数n 使得对 X 的任意 15 个子集 只要它们中任何7 个的并的元素个数都
14、不少于n 则这 15 个子集中一定存在3 个 它们的交非空 解n 的最小值为 41 首先证明合乎条件 用反证法 假定存在X 的 15 个子集 它们中任 何 7 个的并不少于 41 个元素 而任何 3 个的交都为空集 因每个元素至多属于 2 个子集 不妨设每个元素恰好属于2 个子集 否则在一些子集中添加一些元素 上述条件仍然成立 由抽屉原理 必有一个子集 设为 A 至少含有 41n 256 1 15 8 个元素 又设其它14 个子集为 考察不含 A 的任何 7 个子集 都对应 X 中的 41个元素 所有不含 A 的 7 子集组一共至少对应个元素 另 一方面 对于元素a 若 a 则中有 2 个含有
15、 a 于是 a 被计算 了次 若 则中有一个含有 a 于是 a 被计算了 次 于是 1214 A AAL 7 14 41C A 121 A AAL 4 7 aA 1214 A AAL 7 1412 CC 77 1413 CC 7777 1414121413 41 56 CACCA C 7 C 7777 14121312 56 CCA CC 7777 14121312 56 8 CCCC 由此可得 196 矛盾 195 其次证明 41n 1 2 56X L用反证法 假定 设40n 令 7 14 21 28 35 42 49 1 2 7 i Ai iiiiiiii L 8 16 24 32 40
16、48 1 2 8 j Bj jjjjjjj L 8 1 2 7 0 17 iij AiAAij LI7 1 2 8 j Bj L显然 0 18 ij BBij I1 17 18 ij ABij I 于是 对其中任何3 个 j B子集 必有 2 个同时为 或者同时为 i A 其交为空集 对其中任何 7 个子集 1212 7 st iiijjj AAABBBst LL 有 1212st iiijjj AAABBBUULUUUULU 1212st iiijjj AAABBB LLst 8787 7 7ststssss 2 3 4040s 任何 3 个子集的交为空集 所以 41n 综上所述 n的最小值为 41
