2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

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1、第 1 页 共 22 页 绝密 启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学 一 填空题 本大题共14 小题 每小题5 分 共计70 分 请把答案填写在答题卡相应位置 上 1 5 分 已知集合A 1 0 1 6 B x x 0 x R 则 A B 2 5 分 已知复数 a 2i 1 i 的实部为0 其中 i 为虚数单位 则实数 a 的值是 3 5 分 如图是一个算法流程图 则输出的S的值是 4 5 分 函数y 的定义域是 5 5 分 已知一组数据6 7 8 8 9 10 则该组数据的方差是 6 5 分 从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务 则选出的2 名

2、同学 中至少有1 名女同学的概率是 7 5 分 在平面直角坐标系xOy 中 若双曲线x 2 1 b 0 经过点 3 4 则该 双曲线的渐近线方程是 8 5 分 已知数列 an n N 是等差数列 Sn是其前 n 项和 若a2a5 a8 0 S9 27 则 S8的值是 9 5 分 如图 长方体ABCD A1B1C1D1的体积是 120 E 为 CC1的中点 则三棱锥E BCD 的体积是 第 2 页 共 22 页 10 5 分 在平面直角坐标系xOy 中 P 是曲线 y x x 0 上的一个动点 则点P 到 直线 x y 0 的距离的最小值是 11 5 分 在平面直角坐标系xOy 中 点 A 在曲

3、线 y lnx 上 且该曲线在点A 处的切线经 过点 e 1 e 为自然对数的底数 则点 A 的坐标是 12 5 分 如图 在 ABC 中 D 是 BC 的中点 E 在边 AB 上 BE 2EA AD 与 CE 交于 点 O 若 6 则的值是 13 5 分 已知 则 sin 2 的值是 14 5 分 设 f x g x 是定义在R 上的两个周期函数 f x 的周期为4 g x 的 周期为2 且f x 是奇函数 当x 0 2 时 f x g x 其中 k 0 若在区间 0 9 上 关于x 的方程 f x g x 有 8 个不同的实数根 则k 的取值范围是 二 解答题 本大题共6 小题 共计90

4、分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 15 14 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为a b c 1 若 a 3c b cosB 求 c 的值 2 若 求 sin B 的值 16 14 分 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 D E 分别为 BC AC 的中点 AB BC 求证 1 A1B1 平面 DEC1 2 BE C1E 第 3 页 共 22 页 17 14 分 如图 在平面直角坐标系xOy 中 椭圆C 1 a b 0 的焦点为 F1 1 0 F2 1 0 过 F2作 x 轴的垂线 l 在 x 轴的上方 1 与圆 F2 x 1 2 y2

5、4a2交于点 A 与椭圆 C 交于点 D 连结 AF1并延长交圆F2于点 B 连结 BF2交椭圆 C 于点 E 连结 DF1 已知 DF1 1 求椭圆 C 的标准方程 2 求点 E 的坐标 18 16 分 如图 一个湖的边界是圆心为O 的圆 湖的一侧有一条直线型公路l 湖上有 桥 AB AB 是圆 O 的直径 规划在公路l 上选两个点P Q 并修建两段直线型道路PB QA 规划要求 线段 PB QA 上的所有点到点O 的距离均不小于 圆 O 的半径 已知点 A B 到直线 l 的距离分别为AC 和 BD C D 为垂足 测得 AB 10 AC 6 BD 12 单 位 百米 1 若道路 PB 与

6、桥 AB 垂直 求道路PB 的长 2 在规划要求下 P 和 Q 中能否有一个点选在D 处 并说明理由 3 在规划要求下 若道路PB 和 QA 的长度均为d 单位 百米 求当 d 最小时 P Q 两点间的距离 第 4 页 共 22 页 19 16 分 设函数f x x a x b x c a b c R f x 为 f x 的导 函数 1 若 a b c f 4 8 求 a 的值 2 若 a b b c 且 f x 和 f x 的零点均在集合 3 1 3 中 求 f x 的 极小值 3 若 a 0 0 b 1 c 1 且 f x 的极大值为M 求证 M 20 16 分 定义首项为1 且公比为正数

7、的等比数列为 M 数列 1 已知等比数列 an n N 满足 a2a4 a5 a3 4a2 4a1 0 求证 数列 an 为 M 数列 2 已知数列 bn n N 满足 b1 1 其中 Sn为数列 bn 的前 n 项和 求数列 bn 的通项公式 设 m 为正整数 若存在 M 数列 cn n N 对任意正整数 k 当 k m 时 都 有 ck bk ck 1成立 求 m 的最大值 选做题 本题包括A B C 三小题 请选定其中两小题 并在相应的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分10 分 21 10 分

8、 已知矩阵A 1 求 A2 2 求矩阵 A 的特征值 B 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分10 分 22 10 分 在极坐标系中 已知两点A 3 B 直线 1 的方程为 sin 3 1 求 A B 两点间的距离 2 求点 B 到直线 l 的距离 第 5 页 共 22 页 C 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分0 分 23 设 x R 解不等式 x 2x 1 2 必做题 第24 题 第 25 题 每题10 分 共计20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答 时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 24 10 分 设 1 x n a 0 a1x a2x 2 a nx n n 4 n N 已

9、知 a 3 2 2a 2a4 1 求 n 的值 2 设 1 n a b 其中 a b N 求 a2 3b2的值 25 10 分 在平面直角坐标系xOy 中 设点集An 0 0 1 0 2 0 n 0 Bn 0 1 n 1 n 0 2 1 2 2 2 n 2 n N 令Mn An Bn n 从集合 Mn中任取两个不同的点 用随机变量X 表示它们之间的距离 1 当 n 1 时 求 X 的概率分布 2 对给定的正整数n n 3 求概率 P X n 用 n 表示 第 6 页 共 22 页 2019 年江苏省高考数学答案解析 一 填空题 本大题共14 小题 每小题5 分 共计70 分 请把答案填写在答题

10、卡相应位置 上 1 分析 直接利用交集运算得答案 解答 解 A 1 0 1 6 B x x 0 x R A B 1 0 1 6 x x 0 x R 1 6 故答案为 1 6 点评 本题考查交集及其运算 是基础题 2 分析 利用复数代数形式的乘除运算化简 再由实部为0 求的 a 值 解答 解 a 2i 1 i a 2 a 2 i 的实部为 0 a 2 0 即 a 2 故答案为 2 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 是基础题 3 分析 由已知中的程序语句可知 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值 模拟程序的运行过程 分析循环中各变量值的变化情况 可得答案 解答 解

11、 模拟程序的运行 可得 x 1 S 0 S 0 5 不满足条件x 4 执行循环体 x 2 S 1 5 不满足条件x 4 执行循环体 x 3 S 3 不满足条件x 4 执行循环体 x 4 S 5 此时 满足条件x 4 退出循环 输出S的值为 5 故答案为 5 点评 本题考查了程序框图的应用问题 解题时应模拟程序框图的运行过程 以便得 出正确的结论 是基础题 4 分析 由根式内部的代数式大于等于0 求解一元二次不等式得答案 解答 解 由 7 6x x2 0 得 x2 6x 7 0 解得 1 x 7 第 7 页 共 22 页 函数 y 的定义域是 1 7 故答案为 1 7 点评 本题考查函数的定义域

12、及其求法 考查一元二次不等式的解法 是基础题 5 分析 先求出一组数据6 7 8 8 9 10 的平均数 由此能求出该组数据的方差 解答 解 一组数据6 7 8 8 9 10 的平均数为 6 7 8 8 9 10 8 该组数据的方差为 S 2 6 8 2 7 8 2 8 8 2 8 8 2 9 8 2 10 8 2 故答案为 点评 本题考查一组数据的方差的求法 考查平均数 方差等基础知识 考查运算求 解能力 是基础题 6 分析 基本事件总数n 10 选出的2 名同学中至少有1 名女同学包含的基本事 件个数 m 7 由此能求出选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率 解答 解 从 3 名男同学

13、和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务 基本事件总数n 10 选出的 2 名同学中至少有1 名女同学包含的基本事件个数 m 7 选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率是p 故答案为 点评 本题考查概率的求法 考查古典概型 排列组合等基础知识 考查运算求解能 力 考查数形结合思想 是基础题 7 分析 把已知点的坐标代入双曲线方程 求得b 则双曲线的渐近线方程可求 解答 解 双曲线x2 1 b 0 经过点 3 4 解得 b2 2 即 b 又 a 1 该双曲线的渐近线方程是y 第 8 页 共 22 页 故答案为 y 点评 本题考查双曲线的标准方程 考查双曲线的简单性质 是基础题 8 分析

14、设等差数列 an 的首项为a1 公差为 d 由已知列关于首项与公差的方程组 求 解首项与公差 再由等差数列的前n 项和求得S8的值 解答 解 设等差数列 an 的首项为 a1 公差为d 则 解得 6 5 15 2 16 故答案为 16 点评 本题考查等差数列的通项公式 考查等差数列的前n 项和 是基础题 9 分析 推导出 AB BC DD1 120 三棱锥 E BCD 的体积 VE BCD AB BC DD1 由此能求出结 果 解答 解 长方体ABCD A1B1C1D1的体积是120 E 为 CC1的中点 AB BC DD1 120 三棱锥E BCD 的体积 VE BCD AB BC DD1

15、10 故答案为 10 点评 本题考查三棱锥的体积的求法 考查长方体的结构特征 三棱锥的性质等基础 知识 考查运算求解能力 考查数形结合思想 是中档题 第 9 页 共 22 页 10 分析 利用导数求平行于x y 0 的直线与曲线y x x 0 的切点 再由点到直 线的距离公式求点P 到直线 x y 0 的距离的最小值 解答 解 由 y x x 0 得 y 1 设斜率为 1 的直线与曲线y x x 0 切于 x0 由 解得 x0 0 曲线 y x x 0 上 点P 到直线x y 0 的距离最小 最小值为 故答案为 4 点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程 考查点到直线距离公式的 应

16、用 是中档题 11 分析 设 A x0 lnx0 利用导数求得曲线在 A 处的切线方程 代入已知点的坐标求 解 x0即可 解答 解 设 A x0 lnx0 由 y lnx 得 y 则该曲线在点A 处的切线方程为y lnx0 切线经过点 e 1 即 则 x0 e A 点坐标为 e 1 故答案为 e 1 点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程 区分过点处与在点处的不 同 是中档题 12 分析 首先算出 然后用 表示出 结合 6 得 进一步可得结果 解答 解 设 第 10 页 共 22 页 1 6 6 3 故答案为 点评 本题考查向量的数量积的应用 考查向量的表示以及计算 考查计算能力 13 分析 由已知求得tan 分类利用万能公式求得sin2 cos2 的值 展开两角和的正 弦求 sin 2 的值 解答 解 由 得 解得 tan 2 或 tan 当 tan 2 时 sin2 cos2 sin 2 当 tan 时 sin2 cos2 第 11 页 共 22 页 sin 2 综上 sin 2 的值是 故答案为 点评 本题考查三角函数的恒等变换与化简求值 考查两角和的三角函数及万能公