《2020届高考数学专题：立体几何计算问题(有答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学专题：立体几何计算问题(有答案)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、立体几何中的计算问题 1 三视图 是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形 2 直观图 是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形 直观图通常是在平行 投影下画出的空间图形 3 斜二测法 1 画直观图时 把它画成对应的轴 o x o y 取 45 1 35 x o yor 它们确定的平面表示 水平平面 2 在坐标系 x o y中画直观图时 已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变 平行于x 轴 或在 x 轴上 的线段保持长度不变 平行于y 轴 或在 y 轴上 的线段长度减半 结论 一般地 采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 2 4 倍 例 1 下列命题 如果一个
2、几何体的三视图是完全相同的 那么这个几何体是正方体 如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形 那么这个几何体是长方体 如果一个几何体的三视图都是矩形 那么这个几何体是长方体 如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形 那么这个几何体是圆台 其中正确 的是 A B C D 2 异面直线所成的角 1 定义 a b 是两条异面直线 经过空间任意一点O 分别引直线 a a b b 则 a 和 b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线 a和 b 所成的角 2 取值范围 0 90 3 求解方法 根据定义 通过平移 找到异面直线所成的角 解含有 的三角形 求出角 的大小 例 2 在长方体 1111 ABCDA B
3、 C D中 1 1BCCC 1 3 AD B 则直线 1 AB与 1 BC所成角 的余弦值为 A 3 3 B 6 6 C 7 7 D 14 14 答案 D 例 3 直三棱柱 ABC A1B1C1中 若 BAC 90 AB AC AA 1 则异面直线 BA1与 AC1所成的角为 A 60 B 90 C 120 D 150 例 4 在四面体 ABCD 中 AC 与 BD 的夹角为 30 2AC 2 3BD M N 分别是 AB CD 的中点 则线段 MN 的长度为 答案 1 或7 3 二面角找 或作 二面角的平面角的主要方法 i 定义法 ii 垂面法 iii 三垂线法 根据特殊图形的性质 4 求二
4、面角大小的常见方法 先找 或作 出二面角的平面角 再通过解三角形求得 的值 例 5 已知正三棱锥底面边长为2 侧棱长为 3 则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为 答案 6 12 例 6 如图 在三棱柱111ABCA B C中 1AA平面 ABC E F 分别为1A B 1AC的中点 D 为11 B C上的点 且 11 A DB C 1 求证 EF平面 ABC 2 求证 平面 1 A FD平面 11 BCC B 3 若三棱柱所有棱长都为a 求二面角 111 AB CC的平面角的余弦值 答案 1 见解析 2 见解析 3 7 7 4 空间几何体的表面积 体积 棱柱 棱锥的表面积 各个面面积之和 圆柱
5、的表面积 2 22Srlr圆锥的表面积 2 Srlr 圆台的表面积 22 SrlrRlR 扇形的面积公式 2 211 36022 n R Slrr 扇形 其中 l 表示弧长 r表示半径 表示弧度 空间几何体的体积 柱体的体积 VSh底 锥体的体积 1 3 VSh 底 台体的体积 1 3 VSSSSh 下下上上 球体的体积 34 3 VR 点到平面的距离 1 定义面外一点引一个平面的垂线 这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面 的距离 2 求点面距离常用的方法 1 直接利用定义求 找到 或作出 表示距离的线段 抓住线段 所求距离 所在三角形解之 2 体积法其步骤是 在平面内选取适当三点 和已知
6、点构成三棱锥 求出此三棱锥 的体积 V 和所取三点构成三角形的面积S 由 V 3 1 S h 求出 h 即为所求 这种方法的优 点是不必作出垂线即可求点面距离 难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算 例 8 在长 宽 高分别为abc 的长方体中 以它的各面的中心为顶点可得到一个八面 体 则该八面体的体积为 答案 1 6 abc 例 9 如图 在上 下底面对应边的比为1 2的三棱台中 过上底面的一边作一个平行于棱 的平面 11 A B EF 则这个平面分三棱台成两部分的体积之比为 A 1 2B 2 3C 3 4D 4 5 答案 C 例10 如图 在四棱锥 P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA
7、 平面ABCD PA AD 4 AB 2 以 BD 的中点 O 为球心 BD 为直径的球面交 PD 于点 M 求证 平面 ABM 平面 PCD 2 求点 O到平面ABM 的距离 答案 1 见解析 2 2 2 3 2 例 11 如图 已知多面体EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形 EA底面 ABCD FDEA 且 1 1 2 FDEA 1 求多面体 EABCDF 的体积 2 记线段 BC 的中点为K 在平面 ABCD 内过点K作一条直线与平面 ECF 平行 要求保留作图痕迹 但不要求证明 答案 1 10 3 V多面体 2 见解析 5 与球有关的组合体 7 2 球的结构特征 球心
8、与截面圆心的连线垂直于截面 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差 r 2 R2 d 2 7 3 球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合 包括内接和外切两种类型 解决此类问题的基本思路是 根据题意 确定是内接还是外切 画出立体图形 找出多面体与球体连接的地方 找出对球的合适的切割面 然后做出剖面图 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题 例 11 已知棱长为 a的正四面体 其内切球的半径为r 外接球的半径为 R 则 r R 答案 1 3 例 12 已知棱长为 a的正方体 甲球是正方体的内切球 乙球是正方体的外接球 丙球与 正方体的各棱都相切 则甲 乙 丙三球的表面积之比为
9、 A 9 1 3 4 B 1 3 2 C 1 3 2D 3 1 2 2 答案 B 例 13 已知 S A B C 是球 O表面上的点 SA平面 1 3 ABC ABBC SAABBC则球 O的体积为 答案 5 5 6 例 14 已知一个高为 16的圆锥内接于一个体积为972 的球 在圆锥内又有一个内切球 求 圆锥内切球的体积 2 256 3 V 立体几何中的计算问题 一 三视图 1 将正方形 如图1 所示 截去两个三棱锥 得到图2所示的几何体 则该几何体的左视 图为 A B C D 答案 B 2 如图所示 A O B表示水平放置的 AOB的直观图 B 在x 轴 上 A O 与x轴垂直 且2A
10、O 则 AOB的 OB 边上的高为 答案 4 2 二 线线角 3 已知直三棱柱111 ABCA B C 的所有棱长都相等 M 为11 AC的中点 则 AM与1 BC 所成角 的余弦值为 A 15 3 B 5 3 C 6 4 D 10 4 答案 D 4 如图所示为一个正方体的展开图 对于原正方体 给出下列结论 AB 与 EF 所在直线平行 AB 与 CD 所在直线异面 MN 与 BF 所在直线成 60 角 MN 与 CD 所在直线互相垂直 其中正确结论的序号是 答案 5 如图 在三棱柱111 ABCA B C中 1 AA平面 ABC 1 AAABAC ABAC M 是 1 CC 的中点 Q 是
11、BC 的中点 点 P在 11 A B上 则直线 PQ与直线 AM 所成的角为 A 30 B 45C 60D 90 答案 D 三 二面角问题 二面角 关键是找出二面角的平面角 方法有 定义法 三垂线定理法 垂面法 二面角的平面角的范围 6 在正方体 ABCDA B C D 中 二面角 CABC 的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 B 8 如图 已知在直四棱柱1111 ABCDA B C D中 ADDC ABDC 1 22DCDDADAB 1 求证 DB平面 11 B BCC 2 求二面角 11 ABDC的正弦值 答案 1 证明见解析 2 6 3 9 已知二面角 l为 60 动
12、点 P Q 分别在平面 内 点P到的距离为3 点 Q 到的距离为2 3 则 P Q点之间距离的最小值为 A 2B 2 C 2 3D 4 答案 C 如图所示 分别作QA于 A ACl于C PBl 于B PDl 于 D 连接 CQ BD 则60 2 3 3ACQPDBAQBP 所以2ACPD 又因为 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当0AP 即点 A与点P重合时取最小值 故选 C 四 表面积与体积问题 10 如图1 在梯形 ABCD 中 AD BC 1 1 2 ABBCAD E为 AD 的中点 O是 AC 与 BE的交点 将ABE 沿BE翻折到图 2中1A BE的位置 得到四棱锥1ABC
13、DE 1 求证 1 CDAC 2 当2BE 1 1AC时 求D到平面 1 AOC的距离 答案 1 见解析 2 2 11 已知多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD为平行四边形 ADAEC平面 且 2AC 1AEEC 2ADEF EF AD 1 求证 FCEADE平面平面 2 若2AD 求多面体 ABCDEF 的体积 答案 1 见解析 2 5 6 五 与球有关的组合体 12 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 且一个顶点上的三条棱的长分别为1 2 3 则此球的表面积为 13 P A B C 是球 O 面上的四点 且 PA PB PC 的两两垂直 PA PB PC 9 则球 心 O 到截面
14、ABC 的距离为 14 半球内有一个内接的正方体 其下底面在半球的大圆上 则这个半球面的面积与正方 体的表面积之比为 A 2 B 12 5 C 4 D 6 5 A B C P D E F 15 已知一个正方体的各顶点都在同一球面上 现用一个平面去截这个球和正方体 得到 的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形 若此正三角形的边长为 a 则这个球的表面积为 A 23 4 aB 2 3 aC 2 6 aD 23 2 a 答案 D 16 已知三棱锥 DABC 的四个顶点都在球 O的球面上 若 DC平面 ABC 60ACB 3 2AB 2 3DC 则球 O的表面积为 A 24B 30C 36D 42 答案 C
