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1、椭圆及其标准方程 咸宁高中 生活中的椭圆 生活中的椭圆 仙女座星系 星系中的椭圆 如果把细绳的两端拉开一定的距离 分别固定在图板的两处 套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 这时笔尖画出的轨迹是什么曲线 取一条定长的细绳 把它的两端都固定在图板上的同一点处 套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 这时笔尖画出的轨迹是 在这个过程中你能说出移动的笔尖满足的几何条件吗 圆 动手做一做 画椭圆 椭圆的定义 这两个定点叫做椭圆的焦点 P M MF1 MF2 2a 记作2c 完善定义2 exe 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 思考 在椭圆的定义中 如果这个常数小于或等于 动点M的轨迹又如何呢 当2a 2c时 动点M轨迹为椭
2、圆 当2a 2c时 动点M轨迹为线段F1F2 当2a 2c时 动点M轨迹不存在 椭圆的定义 可以用数学表达式来体现 设平面内的动点为M 设当动点满足时动点M的轨迹是椭圆 其中焦距为2C C是半焦距 平面内到两定点的距离和等于常数 大于 的点的轨迹叫做椭圆 两个定点F1 F2叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 我们来看看椭圆是如何形成的 那么椭圆的方程式什么呢 1 定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合叫做圆 2 圆的标准方程的推导 已知定点 动点 定长为r 由两点间的距离公式可知 即 C P x y 圆的定义及标准方程 复习回顾 建立直角坐标系xoy 使x轴经过点 并且点o与线段
3、的中点重合 设M x y 是椭圆上任意一点 由椭圆的定义 下面推导椭圆的方程 y 由椭圆的定义可知2a 2c 即a c 所以 令 代入上式得 两边同时除以 得 化简得 叫做椭圆的标准方程 它所表示的椭圆 的焦点在x轴上 焦点是 但如果使点 在y轴上 点 的坐标分别 为 a b的意义同上 那么标准方程为方程为 1 椭圆的标准方程为 焦点在x轴上焦点坐标为 c 0 焦点在y轴上焦点坐标为 0 c 其中a b 0 且a2 b2 c2 说明 2 方程形式 中间连接符号为 右边常数为1 哪个变量下的数大 焦点就在哪个轴上 快速反应 则a b 则a b 5 3 3 2 焦点坐标为 焦距等于 4 0 4 0
4、 8 焦点坐标为 焦距等于 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 求它的标准方程 解 因为椭圆的焦点在X轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 又因为c 2 所以b2 a2 c2 10 4 6因此 所求椭圆的标准方程为 1 如果方程x2 ky2 2表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的取值范围是 A 0 B 0 2 C 1 D 0 1 2 椭圆的焦距是2 则m的值是 A 5或3B 8C 5D 63 如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6 那么点P到另一个焦点F2的距离是 练习 D A 14 写出符合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 4 b 1 焦点在x轴上 2 a 4 c 焦点在y轴上 3 a b 10 c 练习 1 已知为椭圆 左右焦点 弦AB过 求的周长 2 P是椭圆 上一点 是它的两个焦点 1 求的周长 2 若的中点为M O是原点 且 求 3 已知椭圆的焦点是 p是椭圆上一点 且等差 求椭圆的方程 4 方程 表示焦点在y轴上的椭圆 求实数k的取值范围 5 设曲线表示椭圆 求m的取值范围
