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1、参数方程中曲线欣赏 平摆线 一 教材分析 1 教材的地位和作用 参数方程中曲线欣赏 平摆线 圆的渐开线 这节教材是选修4 4的第4节 它是在学生学习了坐标系和参数方程的基础上 要学生学会欣赏各种各样的曲线 如平摆线 渐开线 心脏线等 并体会参数对研究这些曲线的作用 这节教材中 数与形的结合 相对与绝对 运动与变化 分解与综合等思想方法十分突出 对学生辨证地认识世界以及形成研究的态度意义重大 教学内容本节课的主要教学内容是借助教具和计算机软件 观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹 平摆线 了解平摆线的生成过程 并能推导出它们的参数方程 通过 阅读 了解其他摆线的生成过程 了解摆线在实际中的应用实例
2、 知识技能目标了解平摆线的生成过程 并能推导出它们的参数方程 过程性目标通过学生积极参与 亲身经历平摆线的生成过程及曲线方程的获得过程 体会坐标系和参数方程的作用和意义 渗透数形结合的数学思想 通过自主探索 合作交流 学生历经先想一想 再实际操作 最后追究其道理 完善认知结构 通过在直观的基础上分析 抽象 论证 推导 层层深入 培养学生的创新思维和发散思维的能力 体会参数对研究平摆线 渐开线的作用 3 教学目标 情感 态度与价值观目标通过合作学习 学生间 师生间的相互交流 感受探索的乐趣与成功的喜悦 体会数学的理性与严谨 逐步养成质疑的科学精神 了解摆线在实际中的应用实例 展现人文数学精神 体
3、现数学文化价值及其在社会进步 人类文明发展中的重要作用 学会欣赏各种各样的曲线 感受数学美 进行数学审美教育 提高学生学习数学的积极性 3 教学目标 4 教学重点 难点 本节课的教学重点是了解平摆线的生成过程 并推导出它的参数方程 难点是摆线参数方程的推导 二 教法分析 探究发现教学法 遵循以学生为主体 教师为主导 发展为主旨的现代教育原则 以问题的提出 问题的解决为主线 始终在学生知识的 最近发展区 设置问题 通过学生主动探索 积极参与 共同交流与协作 在教师的引导和合作下 学生 跳一跳 就能摘得果实 于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展 通过不断探究 发现 让学习过程成为心灵愉悦的主动
4、认知过程 使师生的生命活力在课堂上得到充分的发挥 三 学法指导 研讨式学习法 教学矛盾的主要方面是学生的学 学是中心 会学是目的 因此 在教学中要不断指导学生学会学习 这节课主要是教给学生 动手做 动脑想 严格证 勤钻研 的研讨式学习方法 这样做 增加了学生主动参与的机会 增强了参与意识 教给学生获取知识的途径 思考问题的方法 使学生真正成为教学的主体 也只有这样做 才能使学生 学 有新 思 思 有所 得 练 有所 获 学生才会逐步感到数学美 会产生一种成功感 从而提高学生学习数学的兴趣 也只有这样做 才能适应素质教育下培养 创新型 人才的需要 四 教学过程 思考 如果在自行车的轮子上喷一个白
5、色印记 那么自行车在笔直的道路上行使时 白色印记会画出什么样的曲线 1 平摆线的定义 我们把定点P的轨迹叫做平摆线 又叫旋轮线 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个定点P的轨迹是什么 平摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱 上述问题抽象成数学问题就是 2 平摆线的参数方程 取定直线为X轴 定点P滚动时落在定直线上的一个位置为原点 建立直角坐标系 设圆的半径为r 设P x y 是轨迹上任意一点 此时圆转过角 圆心位于A点 则 BAP 作AB Ox PD Ox PC AB 那么 x OD OB DB OB PC r sin y DP BA CA r 1 cos 所以 平摆
6、线的参数方程为 2 平摆线的参数方程 思考1 在平摆线的参数方程中 参数的取值范围是什么 一个拱的宽度与高度各是什么 3 摆线 摆线是研究一个动圆在一条曲线 基线 上滚动时 动圆上一点的轨迹 当基线是直线时 就得到平摆线或变幅平摆线 当基线是圆且动圆在定圆内滚动时 就得到内摆线或变幅内摆线 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时 若两圆外切 就得到外摆线或变幅外摆线 直齿 平行轴齿轮传动机构 圆柱齿轮传动机构 斜齿 齿轮齿条 内齿轮 交错轴齿轮传动机构 斜齿 蜗杆蜗轮 4 摆线的性质 最速降线等时曲线 三 小结 1 摆线是研究一个动圆在一条曲线 基线 上滚动时 动圆上一点的轨迹 当基线是直线时 就得到平摆线或变幅平摆线 平摆线的参数方程为 2 当基线是圆且动圆在定圆内滚动时 就得到内摆线或变幅内摆线 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时 若两圆外切 就得到外摆线或变幅外摆线 3 参数方程在研究摆线中的作用 四 作业 搜集有关摆线的应用实例 借助 阅读 探究变幅内 外摆线的参数方程 曲齿 人字齿 直齿 相交轴齿轮传动机构 圆锥齿轮传动机构 斜齿 曲线齿 准双曲面齿轮
