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1、第四章控制系统建模 利用控制工具箱来建模 其中包括传递函数建模 状态方程建模 零极点建模以及模型的联接和转换 自动控制理论提供了各种分析和设计方法 如时域响应法 根轨迹法 频域响应法 能方便地进行运算并能以图形的形式表达出来 常规的手工计算只能粗略计算 绘制近似图形 适合一般的工程应用 MATLAB的控制系统工具箱含有丰富的专门用于线性系统分析和设计的函数 提供可靠 准确的运算工具 使得分析和设计更切合实际 线性时不变系统的模型形式有 传递函数模型 系统的外部模型 零极点增益模型框图模型部分分式模型状态方程模型 系统的内部模型 这些模型之间都有着内在的联系 可以相互进行转换 关心的重点 如何利
2、用MATLAB进行系统分析中的计算工作如 多项式运算传递函数零点和极点的计算闭环传递函数的计算框图模型的化简运算等 1 传递函数模型 由于传递函数具有多项式之比的形式分子和分母多项式在MATLAB中分别给定 系统在MATLAB中可以方便地由分子 numerator 和分母 denominator 系数构成的两个向量唯一地确定出来 分别用num和den表示 num b1 b2 bm bm 1 den a1 a2 an an 1 注意 按s的降幂排列 缺项补零 Sys tf num den sys为变量名 求零极点分布 p z pzmap num den 绘制零极点分布图 pzmap num de
3、n 零点 zero 用O表示 极点 pole 用X表示 例1 已知传递函数 计算G s 的零极点H s 的特征方程绘制GH s 的零 极点图 G s numg 601 deng 1331 z roots numg p roots deng pp 1 0000 1 0000 0 0000i 1 0000 0 0000i zz 0 0 4082i0 0 4082i H s n1 11 n2 12 d1 12 i d2 1 2 i d3 13 numh conv n1 n2 denh conv d1 conv d2 d3 printsys numh denh num den s 2 3s 2 s 3
4、 3s 2 4s 12 tf numh denh Transferfunction s 2 3s 2 s 3 3s 2 4s 12 GH s num conv numg numh den conv deng denh printsys num den num den 6s 4 18s 3 13s 2 3s 2 s 6 6s 5 16s 4 34s 3 51s 2 40s 12 p 3 0000 0 0000 2 0000i 0 0000 2 0000i 1 0000 1 0000 0 0000i 1 0000 0 0000iz 2 0000 1 00000 0000 0 4082i0 0000
5、 0 4082i pzmap num den p z pzmap num den 2 零极点增益模型 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式 其原理是分别对原系统传递函数的分子 分母进行因式分解处理 以获得系统的零点和极点的表示形式 K为系统增益 zi为零点 pj为极点在MATLAB中零极点增益模型用 z p k 矢量组表示 即 z z1 z2 zm p p1 p2 pn k K 函数tf2zp 传递函数模型 零极点增益模型函数zp2tf 零极点增益模型 传递函数模型 例子 num 1 11 30 0 den 1 9 45 87 50 z p k tf2zp num den z 0 6
6、 0000 5 0000p 3 0000 4 0000i 3 0000 4 0000i 2 0000 1 0000k 1 例子 z 3 p 1 2 5 k 6 num den zp2tf z p k tf num den Transferfunction 6s 18 s 3 8s 2 17s 10 num 00618den 181710 3 框图模型 我们分别以传递函数的形式建立了各部件的模型 目的是将它们有机地组合成完整的控制系统 MATLAB可用来完成框图模型的化简变换 串联联接的框图 series 函数把两个传递函数串联起来 num den series num1 den1 num2 d
7、en2 例 numg 1 deng 50000 numh 11 denh 12 num den series numg deng numh denh printsys num den num den s 1 500s 3 1000s 2 并联联接的框图 parallel 函数把两个传递函数并联起来 num den parallel num1 den1 num2 den2 G1 s G2 s 例 numg 1 deng 50000 numh 11 denh 12 num den parallel numg deng numh denh printsys num den num den 500s
8、3 500s 2 s 2 500s 3 1000s 2 cloop将系统输出反馈到系统输入构成闭环系统 当sign 1时采用正反馈 当sign缺省时 默认为负反馈 cloop 函数计算闭环传递函数 G1 s num den cloop num1 den1 sign 例 numg 1 deng 50000 numc 11 denc 12 num1 den1 series numg deng numc denc num den cloop num1 den1 1 printsys num den num den s 1 500s 3 1000s 2 s 1 feedback函数将两个系统按反馈形式
9、进行联接 sign缺省时 默认为 1 feedback 函数计算闭环传递函数 G1 s num den feedback num1 den1 num2 den2 sign G2 s G1 s G2 s 例 numg 1 deng 50000 numc 11 denc 12 num den feedback numg deng numh denh 1 printsys num den num den s 2 500s 3 1000s 2 s 1 多回路化简 G1 s G2 s G3 s G4 s H1 s H2 s R s C s 已知各环节的传递函数 ng1 1 dg1 110 ng2 1 d
10、g2 11 ng3 101 dg3 144 ng4 11 dg4 16 nh1 11 dh1 12 nh2 2 dh2 1 多回路化简 n1 conv nh2 dg4 d1 conv dh2 ng4 H2 S G4 S 相除 n2a d2a series ng3 dg3 ng4 dg4 G3 S 与G4 S 串联 n2 d2 feedback n2a d2a nh1 dh1 1 与H1 S 构成反馈 n3a d3a series ng2 dg2 n2 d2 与G2 S 串联 n3 d3 feedback n3a d3a n1 d1 与H2 S G4 S 构成反馈 n4 d4 series ng
11、1 dg1 n3 d3 与G1 S 串联 num den cloop n4 d4 1 单位反馈 结果显示 printsys num den num den s 5 4s 4 6s 3 6s 2 5s 2 12s 6 205s 5 1066s 4 2517s 3 3128s 2 2196s 712 G1 s G2 s G3 s G4 s H1 s H2 s R s G5 s n1 conv nh2 dg4 d1 conv dh2 ng4 H2 S G4 S 相除 n2a d2a series ng3 dg3 ng4 dg4 G3 S 与G4 S 串联 n3a d3a parellel n2a d
12、2a ng5 dg5 G3 S 与G4 S 串联后与G5 s 并联 n2 d2 feedback n3a d3a nh1 dh1 1 与H1 S 构成反馈 n4a d4a series ng2 dg2 n2 d2 与G2 S 串联 n3 d3 feedback n4a d4a n1 d1 与H2 S G4 S 构成反馈 n4 d4 series ng1 dg1 n3 d3 与G1 S 串联 num den cloop n4 d4 1 严格意义上的传递函数 传递函数的定义为经过零极点对消之后的输入 输出关系 当分子分母有公因式时 必须消除 minreal 函数 即最小实现是一种模型的实现 它消除
13、了模型中过多的或不必要的状态 对传递函数或零极点增益模型 这等价于将可彼此对消的零极点对进行对消 对以前的多回路的例子 p1 roots num p1 2 00000 0000 1 0000i0 0000 1 0000i 1 0000 1 0000 p2 roots den p2 10 1174 2 4403 2 3493 0 5882 0 8228i 0 5882 0 8228i 1 0000 a b c d tf2ss num den z p k ss2zp a b c d z 2 00000 0000 1 0000i0 0000 1 0000i 1 0000 1 0000p 10 117
14、4 2 4403 2 3493 0 5882 0 8228i 0 5882 0 8228i 1 0000k 0 0833 对消公因式 num 146652 den 122051066251731282196712 nn dd minreal num den 1pole zero s cancellednn 00 08330 25000 25000 25000 1667dd 1 000016 083372 7500137 0000123 666759 3333 4 部分分式模型 控制系统常用到并联系统 这时就要对系统函数进行分解 使其表现为一些基本控制单元的和的形式 函数 r p k resid
15、ue b a 对两个多项式的比进行部分展开 以及把传函分解为微分单元的形式 部分分式展开 余数返回到向量r 极点返回到列向量p 常数项返回到k 另外 b a residue r p k 可以将部分分式转化为多项式比p s q s num 2 0 9 1 den 1 1 4 4 r p k residue num den 5 状态空间描述 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式 又称为动态方程 经典控制理论用传递函数将输入 输出关系表达出来 而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入 输出关系 揭示了系统内部状态对系统性能的影响 在MATLAB中 系统状态空间用 A B C D 矩阵组表
16、示 举例 系统为一个两输入两输出系统A 16910 31268 47911 5121314 B 46 24 22 10 C 0021 8022 D zeros 2 2 5 模型的转换 模型转换的函数包括 residue 传递函数模型与部分分式模型互换ss2tf 状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp 状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss 传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp 传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss 零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf 零极点增益模型转换为传递函数模型 控制系统工具箱里的三种数据类 SYS tf NUM DEN Sys为变量名 num为分子 den为分母SYS zpk Z P K 以零极点增益模型显示系统函数SYS ss A B C D SYS tf SYS 将任意的LTI对象转换成传递函数模型 默认时使用tzero 将状态空间模型转换为传递函数模型 使用poly 将零极点增益模型转换为传递函数模型 SYS zpk SYS SYS ss SYS s tf s H s 1 s 2 3 s 1 或者h tf s H h 1 h 2 3
