《拉格朗日插值》PPT课件.ppt

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1、1 Lagrange插值 2 主要知识点 插值的基本概念 插值多项式的存在唯一性 Lagrange插值 含线性插值 抛物插值 n次Lagrange插值公式 插值余项 插值方法 1 解方程组 2 基函数法 3 插值问题描述 设已知某个函数关系在某些离散点上的函数值 插值问题 根据这些已知数据来构造函数的一种简单的近似表达式 以便于计算点的函数值 或计算函数的一阶 二阶导数值 4 多项式插值定义 在众多函数中 多项式最简单 最易计算 已知函数个互不相同的点处的函数值 为求的近似式 自然应当选次多项式 使满足条件 5 插值的几何意义 插值多项式的几何意义 6 插值唯一性定理 定理 唯一性 满足的n阶

2、插值 多项式是唯一存在的 7 存在唯一性定理证明 设所要构造的插值多项式为 由插值条件 得到如下线性代数方程组 8 存在唯一性定理证明 续 此方程组的系数行列式为 范得蒙行列式 D 0 因此 Pn x 由a0 a1 an唯一确定 9 插值方法 一 解方程组法 类似插值唯一性定理证明过程 先设插值多项式函数为 将个节点的函数值代入多项式里 便得到个等式 得到一个关于多项式里系数的线性方程组 解此线性方程组 便得到所要求的插值多项式 二 基函数法 一种既能避免解方程组 又能适合于计算机求解的方法 下面将具体介绍 10 拉格朗日插值公式 拉格朗日 Lagrange 插值公式的基本思想是 把pn x

3、的构造问题转化为n 1个插值基函数li x i 0 1 n 的构造 11 线性插值函数 x0 x1 x0 y0 x1 y1 P1 x f x 可见是过和两点的直线 12 抛物插值函数 x0 x1 x2 p2 x f x f x 因过三点的二次曲线为抛物线 故称为抛物插值 13 N次插值函数 设连续函数在 a b 上对给定n 1个不同结点 分别取函数值 其中 试构造一个次数不超过n的插值多项式 使之满足条件 i 0 1 2 n 14 一次Lagrange插值多项式 1 已知函数在点上的值为 要求多项式 使 其几何意义 就是通过两点的一条直线 如图所示 15 一次Lagrange插值多项式 2 一

4、次插值多项式 16 一次Lagrange插值多项式 3 由直线两点式可知 通过A B的直线方程为它也可变形为显然有 17 一次Lagrange插值多项式 4 记 可以看出 的线性组合得到 其系数分别为 称为节点 的线性插值基函数 18 一次Lagrange插值多项式 5 线性插值基函数 满足下述条件 并且他们都是一次函数 注意他们的特点对下面的推广很重要 19 一次Lagrange插值多项式 6 我们称为点的一次插值基函数 为点的一次插值基函数 它们在对应的插值点上取值为1 而在另外的插值点上取值为0 插值函数是这两个插值基函数的线性组合 其组合系数就是对应点上的函数值 这种形式的插值称作为拉

5、格朗日 Lagrange 插值 20 二次Lagrange插值多项式1 线性插值只利用两对值及求得的近似值 误差较大 p2 x 是x的二次函数 称为二次插值多项式 通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值 21 二次Lagrange插值多项式2 以过节点的二次函数 为插值函数 用基函数的方法获得 其中 设被插函数在插值节点 处的函数值为 22 N次插值函数1 我们看到 两个插值点可求出一次插值多项式 而三个插值点可求出二次插值多项式 当插值点增加到n 1个时 我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式 如下所示 23 N次插值多项式问题2 已知n 1个节点处的函数值 求一个n次插值

6、函数 满足 24 N次插值多项式3 构造各个插值节点上的基函数满足如下条件 25 N次插值多项式4 求n次多项式 k 0 1 n 则 i 0 1 2 n 即满足插值条件 根据的表达式 以外所有的结点都是的根 26 N次插值多项式5 又由 得 因此令 27 N次插值多项式6 从而得n阶拉格朗日 Lagrange 插值公式 28 N次插值多项式7 在 a b 内存在 考察截断误差 推广 若 使得 罗尔定理 若在 连续 在充分光滑 29 N次插值多项式8 注 通常不能确定 x 而是估计 x a b 将作为误差估计上限 当f x 为任一个次数 n的多项式时 可知 即插值多项式对于次数 n的多项式是精确

7、的 30 例题分析1 例 已知特殊角处的正弦函数值 分别为 求正弦函数的一次 二次插值多项式 并用 插值函数近似计算 并估计误差 解 一次插值函数为 31 例题分析2 误差为 在所求点的函数值为 误差为 知 32 例题分析3 33 例题分析4 误差为 右图中红色曲线为图形 绿色曲线为插值函数的图形 34 Newton插值 35 第三讲主要知识点 牛顿 Newton 插值及余项 差商的定义与性质 埃尔米特 Hermite 插值公式及余项 等距节点的多项式插值 分段低次多项式插值 三次样条插值 36 函数插值问题描述 设已知某个函数关系在某些离散点上的函数值 插值问题 根据这些已知数据来构造函数的

8、一种简单的近似表达式 以便于计算点的函数值 或计算函数的一阶 二阶导数值 37 Newton插值 求作n次多项式使得 38 插值问题讨论 Lagrange插值虽然易算 但若要增加一个节点时 全部基函数li x 都需重新算过 39 Newton插值的承袭性 40 Newton插值 41 具有承袭性的插值公式 线性插值公式可以写成如下形式 其中 其修正项的系数再修正可以进一步得到拋物插值公式其中以上讨论说明 为建立具有承袭性的插值公式 需要引进差商概念并研究其性质 42 差商的概念 1 差商的定义 定义1 设有函数f x 以及自变量的一系列互不相等 的x0 x1 xn 即在i j时 xi xj 的

9、值f xi 称 为f x 在点xi xi处的一阶差商 并记作f xi xj 43 差商的概念 续 又称 为在点处的二阶差商 称 为f x 在点处的n阶差商 44 差商表 由差商定义可知 高阶差商是两个低一阶差商的差商 45 差商形式的插值公式 再考虑拉格朗日插值问题 问题求作次数多项式 使满足条件 利用差商其解亦可表达为如下形式 这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式 46 Newton插值 容易证明牛顿插值多项式满足插值条件 由插值多项式的唯一性 得 牛顿插值多项式的误差估计 47 Newton插值 续 牛顿插值公式的优点是 当增加一个节点时 只要再增加一项就行了 即有递推式 48 例题分析

10、 49 例题分析 续1 50 例题分析 续2 51 Hermite插值多项式 要求函数值重合 而且要求若干阶导数也重合 在实际问题中 对所构造的插值多项式 不仅 把此类插值多项式称为埃米尔特 Hermite 插值多项式或称带导数的插值多项式 记为H x 52 Hermite插值多项式 续1 N 1 N个条件可以确定阶多项式 53 已知函数在区间 a b 上n个互异点处的函数值 以及导数值 求 使得满足插值条件 Hermite插值多项式 续2 54 简化问题描述 使得满足插值条件 55 Hermite插值多项式 构造各个节点的插值基函数 Hermit插值函数可表成 构造方法 类似Lagrange

11、插值基函数 56 两点三次Hermit插值 使得满足插值条件 已知 57 两点三次Hermit插值 续1 直接设 待定系数将使计算复杂 且不易推广到高次 回忆Lagrange插值基函数的方法 引入四个基函数 使之满足 58 两点三次Hermit插值 续2 为方便起见 先考虑 的情形 在一般情形下 只需作变换 59 两点三次Hermit插值 续3 相应的基函数为 60 两点三次Hermit插值 续4 从而Hermite插值多项式为 61 算例 已知对数函数在两点处的值及导数值 用三次Hermit多项式求的近似值 ln 1 5 0 409074 两点三次Hermit插值 续5 62 一般的Herm

12、it插值 设在n 1个节点 给出函数值和导数值 要求插值多项式满足 满足这些条件的插值多项式就是Hermit插值多项式 其构造方法和两点情况类似 不再重复 63 高次插值的龙格现象 对于代数插值来说 插值多项式的次数很高时 逼近效果往往很不理想 例如 考察函数 设将区间分为等份 表取个等分点作节点的插值多项式 如下图所示 当增大时 在两端会发出激烈的振荡 这就是所谓龙格现象 64 龙格现象 65 分段插值的概念 所谓分段插值 就是将被插值函数逐段多项式化 一般来说 分段插值方法的处理过程分两步 先将所考察的区间作一分划并在每个子段上构造插值多项式 然后把它们装配在一起 作为整个区间上的插值函数

13、 即称为分段多项式 如果函数在分划的每个子段上都是次式 则称为具有分划的分段次式 66 分段插值 1 分段线性插值 2 分段抛物插值 3 分段低次多项式插值 原因 高次插值会发生Runge现象 逼近效果并不算太好 67 分段线性插值 满足条件具有分划的分段一次式在每个子段上都具有如下表达式 68 分段三次埃尔米特插值 问题求作具有分划的分段三次式 使成立解由于每个子段上的都是三次式 且满足埃尔米特插值条件 所以其中 且有 69 样条函数的概念 所谓样条函数 从数学上讲 就是按一定光滑性要求 装配 起来的分段多项式 具体的说 称具有分划的分段次式为次样条函数 如果它在每个内节点上具有直到阶连续导

14、数 点称为样条函数的节点 特别地 零次样条就是人们熟知的阶梯函数 一次样条则为折线函数 70 样条函数插值 插值曲线即要简单 又要在曲线的连接处比较光滑 这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低 而在节点上不仅连续 还存在连续的低阶导数 我们把满足这样条件的插值函数 称为样条插值函数 它所对应的曲线称为样条曲线 其节点称为样点 这种插值方法称为 样条插值 71 样条函数插值 续1 插值函数 72 样条函数插值 续2 f x H x S x 注 三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S x 自身光滑 不需要知道f的导数值 除了在2个端点可能需要 而Hermite插值依赖于f在所有插值点

15、的导数值 73 曲线拟和 74 第四讲主要知识点 1 曲线拟合的概念2 曲线拟和的方法3 解矛盾方程组 75 函数插值问题回忆 设已知某个函数关系在某些离散点上的函数值 插值问题 根据这些已知数据来构造函数的一种简单的近似表达式 以便于计算点的函数值 或计算函数的一阶 二阶导数值 76 曲线拟和的概念 在前面所讨论的各种插值方法中 始假设数据点是精确的 准确的 不可修改的 所要求出的插值曲线必须通过每一个数据点 但在实际工作中由于各随机因素的干扰 所得到的数据往往不同程度存在着误差 因此 插值方法只能适用那些误差可以忽略不记的情况 当误差较大而不能忽略时 又如何通过这些观测数据确定其内在的变化

16、规律呢 本节所介绍的曲线拟合就是解决这一问题的主要方法之一 77 曲线拟合的概念 续 如图所示 常常需要从一组获得的数据点中 寻找变量与变量之间的变化规律 用几何方法来解释 就是用已知平面内的一组点 来确定一条曲线 使该曲线能在整体上刻画这组点的变化趋势而不需通过每个点 我们称这种方法为曲线拟合 所求出的曲线称为拟合曲线 78 曲线拟合的方法 将上述问题抽象为数学问题为 设有一组数据对 求连续变量的一个函数 它在处误差为 使总体误差按某种算法达到最小 常用的三种准则是 79 曲线拟合的方法 续 使得误差的最大的绝对值为最小 即 使误差的绝对值和最小 即 使误差的平方和为最小 即 由于准测 含有绝对值不便于处理 通常采用准测 并称基于准则 来选取拟合曲线的方法 为曲线拟合的最小二乘法 80 多项式拟合 一般而言 所求得的拟合函数可以是不同的函数类 其中最简单的是多项式 此时称为多项式拟合 具体定义如下 81 多项式拟合 续1 定义2 5设有给定的数据 假设其拟合函数形式为 求系数 使得取最小值 称次多项式为次最小二乘拟合多项式 或次最小平方逼近多项式 特别地 当时 称为线性最小二乘拟合