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1、模块一投影图 投影的基本知识 1 1投影及其特点 1 2投影图的形成及其特性 1 1投影及其特性 一 影与投影二 投影的形成三 投影的分类四 各种投影法在工程中的应用五 平行投影的特性 一 影与投影 a b 影与投影 二 投影的形成 在制图中 把光线抽象为投射线 把物体抽象为形体 把地面等平面抽象为投影面 假设形体除了轮廓线外均为透明 光线能穿透物体 从而在投影面上形成能反映物体各方面轮廓线的由线条组成的平面图形 投影 把空间形体转化为平面图形 用投影表示物体的形状和大小的方法称为投影法 墙 光线 影子 投影面 投影图 投影线 光源 投影中心 假定光线可以穿透物体 物体的面是透明的 而物体的轮
2、廓线是不透的 并规定在影子当中 光线直接照射到的轮廓线画成实线 光线间接照射到的轮廓线画成虚线 则经过抽象后的 影子 称为投影 形成投影的三要素 投影线 形体 投影面 二 投影的分类 投影 中心投影 斜投影 正投影 平行投影 中心投影 平行投影 正投影 投影线垂直于投影面 斜投影 投影线倾斜于投影面 S S 三 土建工程中常用的几种投影图 土建工程中常用的投影图是 正投影图 轴测图 透视图 标高投影图 1 正投影图 特点 能反映形体的真实形状和大小 度量性好 作图简便 为工程制图中经常采用的一种 2 透视图 特点 图形逼真 具有良好的立体感 常作为设计方案和展览用的直观图 三 投影的分类 1
3、中心投影法2 平行投影法 1 中心投影法 2 平行投影法 1 斜投影法 2 正投影法 1 斜投影法 H 2 正投影法 正投影的基本性质 1 点的正投影基本性质 点的正投影仍然是点 2 直线的正投影基本性质 A B C D E F a b c d e f 1 直线垂直于投影面 其投影积聚为一点 2 直线平行于投影面 其投影是一直线 反映实长 3 直线倾斜于投影面 其投影仍是一直线 但长度缩短 3 平面的正投影基本性质 1 平面垂直于投影面 投影积聚为直线 2 平面平行于投影面 投影反映平面的实形 3 平面倾斜于投影面 投影变形 图形面积缩小 A C D B a d E F G H K L M N
4、 b c g e f h k m n l 四 平行投影的特性 1 显实性2 积聚性3 类似性4 平行性5 定比性 1 显实性 2 相仿性 3 积聚性 a b 4 平行性 5 定比性 1 直线上两线段长度之比等于两线段投影的长度之比 2 相互平行的两直线在同一投影面上的平行投影保持平行 这种特性称为平行性 两平行线段的长度之比 等于它们的平行投影的长度之比 三面投影图 三面投影的必要性三面正投影图的形成三个投影面的展开三面正投影图的分析三面正投影图的作图方法 1 2投影图的形成及其特性 1 三面投影的必要性 2 三面正投影图的形成 砖的三个不同方向的正投影 3 三个投影面的展开 1 三个投影面的
5、展开 2 三面正投影的放置和标注 3 三面正投影中投影面边界的处理 1 三个投影面的展开 为了把空间三个投影面上所得到的投影画在一个平面上 需将三个相互垂直的投影面展开摊平为一个平面 令V面保持不动 H面绕OX轴向下翻转90 W面绕OZ轴向右翻转90 则它们就和V面在同一个平面上了 2 三面正投影的放置和标注 展开后的三面正投影 H面投影在V面投影的正下方 W面投影在V面投影的正右方 按照这种位置画投影图时 在图纸上可以不标注投影面 投影轴和投影图的名称 3 三面正投影中投影面边界的处理 T形梁 由于投影面是我们设想的 并无固定的大小边界范围 而投影图与投影面的大小无关 所以作图时也可以不画出
6、投影面的边界 4 三面正投影图的分析 1 三面正投影的度量关系 2 三面正投影的投影关系 3 三面正投影的方位关系简单形体的表达 1 三面正投影的度量关系 形体的V面投影反映了形体的正面形状和形体的长度及高度 形体的H面投影反映了形体水平面的形状和形体的长度及宽度 形体的W面投影反映了形体左侧面的形状和形体的高度及宽度 2 三面正投影的投影关系 四坡屋面房屋的三面正投影 把三个投影图联系起来看 就可以得出这三个投影之间的相互关系 即V面投影和H面投影 长相等 V面投影和W面投影 高相等 H面投影和W面投影 宽相等 为便于作图和记忆 概括为 长对正 高平齐 宽相等 3 三面正投影的方位关系 V面
7、投影图反映形体的上 下和左 右的情况 不反映前 后情况 H面投影图反映形体的前 后和左 右的情况 不反映上 下情况 W面投影图反映形体的上 下和前 后情况 不反映左 右情况 上 前 左 b a 4 简单形体的表达 有些简单形体只需用两个甚至一个投影图就能表达清楚 如图中的圆管可用两个正投影表达 圆柱只需用一个正投影图标明直径符号和尺寸就能表达清楚 5 三面正投影图的作图方法 X X 1 2 1点的三面投影1 点三面投影的形成2 点的投影规律 特性 1 2 2点的空间坐标1 2 3特殊位置的点1 2 4两点的相对位置1 两点的相对位置2 重影点及可见性判别 1 2点 线 面的投影 1 2 1点的
8、三面投影 1 点三面投影的形成 A点的水平投影 aA点的正面投影 a A点的侧面投影 a A 分析 a az aay xa ax a ay za az aax y 2 点的投影规律 特性 a a ox 长对正 a a oz 高平齐 a az aax 宽相等 A 见书P22中的 和 例题1 1 已知点B的正面与侧面投影 求点B的水平投影 1 2 2点的空间坐标 1 点的空间位置可用直角坐标表示 X坐标 A点到W面的距离Aa Y坐标 A点到V面的距离Aa Z坐标 A点到H面的距离Aa2 书写形式为A X Y Z A 1 2 3特殊位置的点 位于投影面 投影轴以及原点上的点 1 2 4两点的相对位置
9、 X坐标确定左右 大者在左 Y坐标确定前后 大者在前 Z坐标确定上下 大者在上 1 两点的相对位置 2 重影点及可见性判别 重影点 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上 则这两点在该投影面上的投影重合 这两点称为该投影面的重影点 1 2 5点直观图的画法 为了便于建立空间概念 加深对投影原理的理解 常常需要画出具有立体感的直观图 根据点的投影 画其直观图的方法步骤见例1 2 例1 2 已知A 28 0 20 B 24 12 12 C 24 24 12 D 0 0 28 四点 试画出其直观图与投影图 a 直观图 b 投影图 1各种位置直线的三面投影2直线上点的投影3一般位置直线的实长及其与投影
10、面的夹角4两直线的相互位置关系 直线的投影 直线的投影 直线上任意两点同面投影的连线 直线的投影仍为直线 特殊情况下为一点 直线的投影 各种位置直线的三面投影 1 投影面平行线 与一个投影面平行 而与另两个倾斜的直线 1 水平线 与H面平行 与V W面倾斜 2 正平线 与V面平行 与H W面倾斜 3 侧平线 与W面平行 与V H面倾斜 2 投影面垂直线 与一个投影面垂直 必与另两个平行 的直线 1 铅垂线 与H面垂直 与V W面平行 2 正垂线 与V面垂直 与H W面平行 3 侧垂线 与W面垂直 与V H面平行 3 一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线 1 水平线 投影特性 1 ab AB2
11、 a b OX a b OYW3 反映 角的真实大小 2 正平线 投影特性 1 a b AB2 ab OX a b OZ3 反映 角的真实大小 3 侧平线 投影特性 1 a b AB2 a b OZ ab OYH3 反映 角的真实大小 投影特性 直线在所平行的投影面上的投影反映实长 并且该投影与投影轴的夹角 等于直线对其他两个投影面的倾角 直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴 但其投影长度缩短 平行线空间位置的判别 一斜两直线 定是平行线 斜线在哪面 平行哪个面 投影特性 1 ab积聚成一点2 a b OX a b OY3 a b a b AB 1 铅垂线 2 正垂线 投影特性
12、1 a b 积聚成一点2 ab OX a b OZ3 ab a b AB 3 侧垂线 投影特性 1 a b 积聚成一点2 ab OYH a b OZ3 ab a b AB 投影特性 直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点 直线在另外两个投影面上的投影同时平行于一条相应的投影轴且均反映实长 垂直线空间位置的判别 一点两直线 定是垂直线 点在哪个面 垂直哪个面 3一般位置线 定义 与三个投影面均倾斜的直线 称为一般位置线 投影图 一般位置线在H V W三个投影面上的投影如下图所示 投影特性 直线的三个投影仍为直线 但不反映实长 直线的各个投影都倾斜于投影轴一般位置线的判别 三个投影三个斜 定是一般
13、位置线 3 一般位置直线 投影特性 1 ab a b a b 均小于实长2 ab a b a b 均倾斜于投影轴3 不反映 实角 直线上的点具有两个特性 1 从属性若点在直线上 则点的各个投影必在直线的各同面投影上 利用这一特性可以在直线上找点 或判断已知点是否在直线上 2 定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比 即AC CB ac cb a c c b a c c b 利用这一特性 在不作侧面投影的情况下 可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上 直线上点的投影 例题1 3 已知线段AB的投影图 试将AB分成2 1两段 求分点C的投影 例 已知侧平线AB的V H投影及线上一点K的
14、V面投影k 试求点K的H投影 如图所示 解 图求作直线上点的投影 例 已知侧平线CD和点E的H V面投影 试判断点E是否在直线CD上 如图所示 解 图判断点是否在直线上 求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一 而用直角三角形法求解实长 倾角又最为方便简捷 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角 a 直观图 b 利用水平投影求实长 c 利用正面投影求实长 例题1 4 已知线段AB的水平投影ab和点B的正面投影b 如图所示 线段AB与H面的夹角 30 求出线段AB的正面投影a b a 已知条件 b 作图方法 例题1 5 已知线段AB的投影 如图所示 试定出属于线段A
15、B的点C的投影 使BC的实长等于已知长度L a 已知条件 b 作图方法 两直线的相对位置 空间两直线有三种不同的相对位置 即相交 平行和交叉 两相交直线或两平行直线都在同一平面上 所以它们都称为共面线 两交叉直线不在同一平面上 所以称为异面线 两直线相交时 如图所示的AB和CD 它们的交点E既是AB线上的一点 又是CD线上的一点 1两相交直线 图两相交直线的投影 例 给出平面四边形ABCD的V投影及其两条边的H投影 试完成整个H投影 解 作图步聚如图 图求四边形的H投影 根据平行投影的特性可知 两平行直线在同一投影面上的投影相互平行 如图所示 2两平行直线 图两平行直线的投影 例 给出平行四边
16、形ABCD的两边AB和AC的投影 试完成ABCD的投影 解 作图步骤如图所示 图作平行四边形的投影 两交叉直线既不平行 也不相交 虽然两交叉直线的某一同面投影有时可能平行 但所有同面投影不可能同时都相互平行 两交叉直线的同面投影也可能相交 但这个交点只不过是两直线的一对重影点的重合投影 两交叉直线有一个可见性问题 3两交叉直线 图两交叉直线 例 给出一个三棱锥各侧棱的V H投影 试判断轮廓线内的两条交叉侧棱的可见性 解 如图所示 图三棱锥的可见性问题 两直线的夹角 其投影有下列三种情况 当两直线都平行于某投影面时 其夹角在该投影面上的投影反映实形 当两直线都不平行于某投影面时 其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形 直角投影定理 当两直线中有一直线平行于某投影面时 如果夹角是直角 则它在该投影面上的投影仍然是直角 也适用于交叉直线 如图所示 直线AB垂直于BC 其中AB是水平线 直角投影逆定理 空间两直线的某一投影为直角 且其中一直线平行于该投影面 则两直线在空间一定相互垂直 4两相互垂直直线 图两相互垂直的直线 例 求点A到水平线BC的距离 解 图求一点到水平线的距离 1平面的表示法
