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1、2018届高三十四校联考 第一次考试数学(理科)试卷第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足,则的共轭复数是( )A B C D2.已知全集为,集合,则( )A B C D3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“”“”“”“”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )A B C D 4.若双曲线的焦距为,则等于( )A或 B C. D5.记为等差数列的前项和,若,则等于( )A B C. D6.执行如图所示的程序框图,则其输出的结果是( )A B C.
2、D7.已知函数为偶函数,当时,且为奇函数,则( )A B C. D8.已知一个棱长为的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图(单位:)如图所示,则该几何体的体积是( )A B C. D9.若,则,这三个数的大小关系正确的是( )A B C. D10.函数的部分图象如图所示,已知,且,则等于( )A B C. D11.若对于函数图象上任意一点处的切线,在函数的图象上总存在一条切线,使得,则实数的取值范围为( )A B C. D12.如图,已知椭圆,过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点,连接,并延长分别交于、两点,连接,与的面积分别记为,.则在下列命题中,正确命题的个数是( )若记直线,的斜率分别为
3、、,则的大小是定值为;的面积是定值;线段、长度的平方和是定值;设,则.A个 B个 C.个 D个第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知向量,若,则 14.已知为常数,且,则的二项展开式中的常数项为 15.已知,满足约束条件,则的最大值是最小值的倍,则 16.已知数列满足:,.设是等差数列,数列是各项均为正整数的递增数列,若,则 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设函数.()求函数的递增区间;()在中,分别为内角,的对边,若,且,求的面积.18.某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准
4、的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计,表示第天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:123456758810141517()经过进一步统计分析,发现与具有线性相关关系.请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;()该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取元购物券;抽中“二等奖”可领取元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为,获得“二等奖”的概率为.现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望.参考公式
5、:,.19. 如图,在梯形中,四边形是菱形,.()求证:;()求二面角的平面角的正切值.20. 已知椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍,且点在椭圆上.()求椭圆的方程;()过点任作一条直线,与椭圆交于不同于点的、两点,与直线交于点,记直线、的斜率分别为、.试探究与的关系,并证明你的结论.21. 已知函数(其中且为常数,为自然对数的底数,).()若函数的极值点只有一个,求实数的取值范围;()当时,若(其中)恒成立,求的最小值的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为(为参数),以原点为极
6、点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.()求曲线的直角坐标方程;()设为曲线上的点,为曲线上的点,求的最小值.23.选修4-5:不等式选讲已知函数.()若不等式有解,求实数的最大值;()在()的条件下,若正实数,满足,证明:.试卷答案一、选择题1-5:DBDAB 6-10:ACDBC 11、12:DA二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.【解析】()函数的解析式可化为:.由,得函数的递增区间为.()因为,即,所以,因为是三角形的内角,所以,又因为,由正弦定理得,所以,所以,因为,由余弦定理得.所以,故的面积为.18.【解析】()依题意:,则关于的线性回归方程为
7、.()二人所获购物券总金额的可能取值有、元,它们所对应的概率分别为:,.所以,总金额的分布列如下表:03006009001200总金额的数学期望为元.19.【解析】()依题意,在等腰梯形中,即,而,.连接,四边形是菱形,.()取的中点,连接,因为四边形是菱形,且.所以由平面几何易知,.故此可以、分别为、轴建立空间直角坐标系,各点的坐标依次为:,.设平面和平面的法向量分别为,.由,令,则,同理,求得.,故二面角的平面角的正切值为.20.【解析】()因为椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为,所以依题意有:,.故可设椭圆的方程为:,因为点在椭圆上,所以将其代入椭圆的方程得.椭圆的方程
8、为.()依题意,直线不可能与轴垂直,故可设直线的方程为:即,为与椭圆的两个交点.将代入方程化简得:.所以,.又由 ,解得,即点的坐标为,所以.因此,与的关系为:.21.【解析】()函数的定义域为,其导数为.由或,设,当时,;当时,.即在区间上递增,在区间上递减,又当时,当时,且恒成立.所以,当或时,方程无根,函数只有一个极值点.当时,方程的根也为,此时的因式恒成立,故函数只有一个极值点.当时,方程有两个根、且,函数在区间单调递减;单调递增;单调递减;单调递增,此时函数有、三个极值点.综上所述,当或时,函数只有一个极值点.()依题意得,令,则对,都有成立.因为,所以当时,函数在上单调递增,注意到
9、,若,有成立,这与恒成立矛盾;当时,因为在上为减函数,且,所以函数在区间上单调递增,在上单调递减,若对,都有成立,则只需成立,当时,则的最小值,函数在上递增,在上递减,即的最小值的最大值为;综上所述,的最小值的最大值为.请考生在第(22)(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.【解析】()且,由得,曲线的直角坐标方程为.()设是曲线上的任意一点,由消去得,知曲线为直线.设到的距离为,则(当且仅当取“=”),故的最小值为.23.【解析】()若不等式有解,只需的最大值即可.因为,所以,解得,所以实数的最大值.()根据()知正实数,满足,由柯西不等式可知,所以,因为,均为正实数,所以(当且仅当时取“=”).