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1、数学(文科) 命题人、审题人:彭萍苏萍曾克平本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1)复数z1i,为z的共轭复数,则zz3(C)(A)2i (B)i (C)i (D)2i(2)若a,b为实数,则“0ab1”是“|ab|1”的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件(3)设alog3,b,c2,则(A)(A)abc (B)cba(C)cab (D)bac【解析】由函数的性质得到alog3
2、1 000的最小n值是(C)(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【解析】因为a11,log3an1log3an1 (nN*),所以an13an,Sn,则满足Sn1000的最小n值是7.(7)某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则ab的最大值为(C)(A)2 (B)2 (C)4 (D)2【解析】设长方体长、宽、高分别为m、n、x.由已知,m2n2x27,m2x26得n1,又x21a2,m21b2,所以:(ab)2a2b22abx2m22n22ab82ab82,由此解得:ab4,当且仅当ab时取“
3、”故ab的最大值为4.(8)已知函数f(x)Acos x(A0,0)的最小正周期为2,且f1,则函数yf(x)的图象向右平移个单位后所得图象的函数解析式为(A)(A)y2sin x (B)ysin x(C)y2cos x (D)ycos x【解析】由最小正周期为2,得2,则,又f1,所以Acos1,A2,所以f(x)2cos x,将函数yf(x)的图象向右平移个单位后得到y2cos2cos2sin x的图象(9)过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,若AOB的面积为 ,则直线AB的斜率为(C)(A)2 (B)2 (C)2 (D)【解析】设直线AB的倾斜角为,由SABC
4、得sin ,所以tan 2.(10)若函数f(x)x3x2在区间(a,a4)上存在最大值,则实数a的取值范围是(C)(A)(6,2) (B)(6,3)(C)(6,3 (D)(6,2【解析】函数f(x)x3x2在(,2),(0,)上是增函数,在(2,0)上是减函数令f(x)f(2),得x2或x1.结合图像可知:解得a(6,3(11)已知函数f(x),则函数g(x)ff(x)1的零点个数是(D)(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个【解析】设f(M)0,得M2或M1.当M1时,由f(x)11得log2(x)2或x22,即得x0或x;当M2时,由f(x)12得f(x)1,即log2(x)1或
5、x21,即x2或x3.(12)在平面直角坐标系xOy中,A、B为不等式组所表示的区域上任意两个动点, M的坐标为(3,1),则的最大值为(B)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),()(3x2y2)(3x1y1),由于A、B为不等式组所表示的区域上任意两个动点,故要求的最大值即求目标函数z3xy的最大值与最小值的差,作出不等式所表示的平面区域如图,可知目标函数最大值和最小值分别为6和3,的最大值为3.选择题答题卡题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)答案CAADCCCACCDB第卷本卷包括必考题和选考题两
6、部分第(13)(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答第(22)(23)题为选考题,考生根据要求作答二、填空题:本题共4小题,每小题5分(13)已知集合A3,a2,B0,b,1a,且AB1,则AB_0,1,2,3_【解析】A3,a2,集合B0,b,1a,且AB1,a21,解得:a1或a1,当a1时,1a110,不合题意,舍去;当a1时,1a1(1)2,此时b1,A3,1,集合B0,1,2,则AB0,1,2,3故答案为:0,1,2,3(14)已知正实数x,y满足xy2xy4,则xy的最小值为_23_【解析】正实数x,y满足xy2xy4,y(0x2)xyxx(x1)32323,当且仅当x1时取等
7、号xy的最小值为23.故答案为:23.(15)折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形,其中四边形ABCD为正方形,G为线段BC的中点,四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形,连接EB,CI,则向多边形AEFGHID中投掷一点,该点落在阴影部分内的概率为_【解析】设正方形ABCD的边长为2,则由题意,多边形AEFGHID的面积为552212,阴影部分的面积为2224,向多边形AEFGHID中投掷一点,该点落在阴影部分内的概率为,故答案为.(16)函数yf(x)图象上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是kA、k
8、B,规定(A,B)叫做曲线yf(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”设曲线yexx上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x21,则(A,B)的取值范围是_【解析】yexx的导数为yex1,kAex11,kBex21,(A,B),x1x21,可得x1x2,ex1ex2,可令tex1ex2,可设f(t),t0,f(t),当0t时,f(t)0,f(t)递增;当t时,f(t)0,f(t)递减则当t处f(t)取得极大值,且为最大值.则(A,B).故答案为:.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)已知数列an中,a12,且2anan11(n2,nN)()
9、求证:数列an1是等比数列,并求出数列an的通项公式;()设bnn(an1),数列bn的前n项和为Sn,求证:1Sn4.【解析】()an11(an11), 2分又a1110,数列an1是首项为1,公比为的等比数列. 4分an1,得an1.5分()bnn(an1)n,设Sn1则Sn8分得:Sn12,Sn44,10分Sn40,数列Sn是递增数列,故SnS11,1Sn4. 12分(18)(本小题满分12分)如图,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA平面ABCD,ABC60,E、F分别是BC、PC的中点()证明:AE平面PAD;()取AB2,在线段PD上是否存在点H,使得EH与平面PAD所
10、成最大角的正切值为,若存在,请求出H点的位置,若不存在,请说明理由【解析】()证明:由四边形ABCD为菱形,ABC60,可得ABC为正三角形,E为BC的中点,AEBC.又BCAD,因此AEAD.PA平面ABCD,AE平面ABCD,PAAE.而PA平面PAD,AD平面PAD,PAADA,AE平面PAD; 4分()设线段PD上存在一点H,连接AH,EH.由()知AE平面PAD,则EHA为EH与平面PAD所成的角. 6分在RtEAH中,AE,当AH最短时,即当AHPD时,EHA最大,此时tanEHA,因此AH. 10分线段PD上存在点H,当DH时,使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为. 12分(
11、19)(本小题满分12分)如图,在ABC中,M是边BC的中点,cosBAM,tanAMC.()求角B的大小;()若角BAC,BC边上的中线AM的长为,求ABC的面积【解析】()由cosBAM,得:sinBAM,tanBAM. 2分又AMCBAMB,tan Btan(AMCBAM);5分又B(0,),B.6分()由()知B.角BAC,C.则ABBC.8分设MBx,则AB2x.在ABM中由余弦定理,得AM2AB2MB22ABBMcos B,10分即7x221.解得:x.故得ABC的面积SABC4x2sin3. 12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,连接椭圆四个顶点的四边形面积为2.()求椭圆C的方程;()A、B是椭圆的左右顶点,P是椭圆上任意一点,椭圆在P点处的切线与过A、B且与x轴垂直的直线分别交于C、D两点,直线AD、BC交于Q,是否存在实数,使xPxQ恒成立,并说明理由【解析】()由题意e,2ab2解得a,b,故椭圆C的方程为15分()设切线方程为ykxm,与椭圆联立消元得x26kmx3m260直线与椭圆相切,36k2m240化简得m223k2,7分且xP,8分又点A(,0),D(,km),直线AD方程为y9分同理直线BC方程为y10分解得xQ