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1、数学(理科)试卷命题老师:孟祖国 考试时间:2018年元月3日15:00-17:00 试卷满分:150分祝考试顺利考生注意:本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,考生作答时,将答案答在答题 卡上(答题注意事项见答题卡),在本试题卷上答题无效考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回第卷 (选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1若集合,集合,则集合PQ的真子集个数是( )A63 B64 C127 D128 2已知i是虚数单位,若为纯虚数,其中,则对应的点所在的象限为( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象
2、限3“”是“”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,甲的所得比戊的所得多( )A B C D5四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则如下结论中不正确的是( )AAB BBC和SA所成的角等于AD和SC所成的角 CBC平面SAD D SA与平面SBD所成的角等于
3、SC与平面SBD所成的角6已知正数x,y 满足 ,则的最大值为( ) A5 B1 C-1 D-57已知函数的定义域是(,),函数 是R上的奇函数,则=( )A B C2 D38定义在R上的偶函数f(x)的导函数为,若对任意的实数x,都有2f(x)+x恒成立,则使成立的实数x的取值范围为( )A B(-1,0)(0,1) C(-1,1) D9过双曲线=1(0,b0)的左焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于AB两点,点F到双曲线渐近线的距离为d,若|AB|=3d,则双曲线离心率为( )A B C D10某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为( )A B C D11定义d(a,b)=|
4、a-b|为两个向量a,b间的“距离”若向量a,b满足:|b|=;ab;对任意tR,恒有d(a,tb)d(a,b),则( )Aab B a(a- b) Cb(a- b)D(a+b)(a- b)12已知函数 ,若曲线y =f(x)上的两条切线l1,l2满足l1l2,且l1l2=P,记点P的坐标为(a,b),则下列关系正确的是( )Aa+b =(2k+1)(kZ) Ba-b =2k(kZ)Ca+b =4k(kZ) Da-b =4k(kZ)第卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题 ,每个试题考生都必须做答第2223题为选考题,考生根据要求做答二、填空题:本大题共4小题
5、,每小题5分13已知若向量 14若由抛物线y=与直线y=x+4围成的封闭图形的面积为m,则m= 15已知直线y =ax与圆C:交于A ,B 两点,且CAB 为直角三角形,则CAB 的面积为 16已知函数,若函数的所有零点依次记为,,且,则= 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(本小题满分12分)在中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知函数cos(2x+B)为偶函数,b=(I)求b;()若a=3,求的面积S18(本小题满分12分)已知单调递增的正项等比数列满足a1+a3+a5 =42,且a3+9是a1,a5的等差中项(1)求数列的通项公式;(2)将an的底数与
6、指数互换得bn,设数列的前n项和为Tn,求证:Tn19(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, ACB =90,四边形 BCC1B1是边长为4的正方形,AC =2(I)若D为BC的中点,在棱BB1上是否存在一点E,使 DE平面 A1EC1 ?()若F是棱AA1上的一点,当AF =时,求二面角B1-FC-C1的大小 20(本小题满分12分)已知椭圆C:(ab0)过点(1,),左焦点为F(-c,0),且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点(I)求椭圆C的方程;()已知直线l:y=kx+m(m0)交椭圆C于A,B两点,若椭圆C上存在一点P满足,求实数的取值范围21(本小题满分
7、12分)已知函数(aR)的图象过定点(1,-1)(I)求函数f(x)的单调区间,并求出f(x)的极值;()若,证明:当时,函数的图象恒在函数图象的上方请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修4 -4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线C1的参数方程为,以坐标原点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为(I)求直线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;()判断直线C1与曲线C2的位置关系,若相交,求出弦长23(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数(I)当a=1时,求不等式的解集;()当a=2时,
8、函数的最小值为t,求 m+n的最小值 数学(理科)参考答案一、选择题 ABBD BACD CACD二、填空题13.1 14.1815.1 16.三、解答题17.解:()在ABC中,由f(x)为偶函数可知,所以B=又因为(0,所以B=.故f(x)=2sin(2x+)=2cos2x,b=.6分()因为B=,b=,由正弦定理得sinA=,所以A=当A=时,C=,ABC的面积S=;当A=时,C=,ABC的面积S=. 12分18.解:()设等比数列an的首项为a1,公比为q,依题意有2(a3+9)=a1+a5,代入a1+a3+a5=42得a3=8,a1+a5=34,故,解得.因为数列an为单调递增的正项
9、等比数列,所以a1=2,q=2.于是数列an的通项公式为 6分()由()知,bn=n2,所以。所以当n=1时,T1=1;当n=2时,T2=1; 当n时,Tn=. 12分19.解:()因为四边形BCC1B1是边长为4的正方形,所以BC=BB1=4,又因为D为BC的中点,所以BD=2,因为,则ACBC,由已知CC1平面ABC,则CC1AC,所以AC平面BCC1B1.因为A1C1AC,所以A1C1平面BCC1B1,而DEBCC1B1,所以DEA1C1.若在棱BB1上存在一点E,使得DE平面A1EC1,则需DEEC1,则此时应有EBD.设BE=x,则,即,所以x2-4x+8=0,而,故此方程无实数根,
10、即DEEC1不可能成立.于是在棱BB1上不存在一点E,使得DE平面A1EC1. 6分()以C为原点,CA,CB,CC1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,C(0,0,0),B1(0,4,4),F(2,0,2),设平面B1CF的法向量为,由得,令z=-1得.又平面CFC1的法向量为,则cos=,所以=60,即二面角B1-FC-C1的大小为60. 12分20.解:()依题意知椭圆C过点(1,),则,又因为椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点,所以a=2c.又因为a2=b2+c2,所以a2=4,b2=3,于是椭圆的方程为.4分()设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则
11、由得x1+x2=x0, y1+y2=y0,且.联立,消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.则=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)0,即m23+4k2且x1+x2=x1x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=,则P(,将P点坐标代入椭圆方程得,故实数的取值范围为12分22.解:()由的图像过定点(1,-1)得ln1-a=-1,求得a=1. 2分故函数,定义域为,又,当0x1时,,f(x)单调递减,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为.所以当x=1时,f(x)极大值=f(1)=-1,没有极小值.5分()由()知,即证lnx-x在上恒成立,
12、即证lnx 在上恒成立,由()知,f(x) f(1)=-1,即lnx-x即lnx,要证lnx 在上恒成立,只需证证x -10时,,即h(x)在单调递增,所以h(x)h(0)=0,即当x0时,恒成立,于是当时,函数的图象恒在函数图象的上方.12分22.解:()由,消去t得x+y-3=0,即直线C1的普通方程为x+y-3=0。由得x2+y2=8y,即曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16. 5分()由()知,曲线C2:x2+(y-4)2=16表示圆心为(0,4),半径为4的圆.则圆心(0,4)到直线x+y-3=0的距离为,故直线C1与圆C2相交,其弦长为. 10分23解:()当a=1时,不等式为2|x-1|-|x+2|,即2|x-1|x+2|,两边平方得x2-4x解得,所以f(x)的解集为5分()当a=2时,f(x)=2|x-2|-|x+2|=,由此可知,f(x)min=t=f(2)=-4.所以,于是m+n=(m+n)()=,当且仅当时取等号.所以m+n的最小值为. 10分