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1、20172018学年度第一学期期末考试高二数学(文科)试题 (考试时间：120分钟； 总分：160分) 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1. 命题“若，则”的逆命题为_【答案】若，则【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”.2. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为_【答案】【解析】复数在复平面上对应的点的坐标为.3. 抛物线的准线方程为_【答案】【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填4. 函数在处的切线的斜率为_【答案】【解析】因为，且，即函数在处的切线的斜率为.5. 双曲线的渐近线的方程为_【答案】【解析】令，即，
2、即双曲线的渐近线的方程为.6. 椭圆在其上一点处的切线方程为类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为_【答案】【解析】由类比，得双曲线在其上一点处的切线方程为.7. 若“”是“不等式” 成立的充分条件，则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为，且“”是“不等式” 成立的充分条件，所以，则，解得，即实数的取值范围是.点睛：本题考查充分条件和必要条件的判定；在处理涉及数集的充分条件或必要条件的判定时，往往将问题转化为集合间的包含关系处理，已知命题，若，则是的充分条件，是的必要条件.8. 抛物线上一点 到其焦点的距离为，则_【答案】【解析】因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以，解得.点睛：本题
3、考查抛物线的定义；在求抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，但要注意抛物线是哪一种标准方程，如抛物线上一点到其焦点的距离为,抛物线上一点到其焦点的距离为，等等.9. 已知，若（），则_【答案】【解析】由归纳，得，即，即.10. 已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，则点到右准线的距离为_【答案】【解析】因为双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，所以该点到右焦点的距离为，且离心率为，设点到右准线的距离为，则由双曲线的第二定义，得，解得，即点到右准线的距离为10.点睛：本题考查双曲线的第一定义和第二定义的应用；椭圆和双曲线均有两个定义，第一定义
4、是到两个定点的和（或差的绝对值）为定值的动点的轨迹，但要注意定值和两个定点间的距离的大小关系，第二定义是圆锥曲线的统一定义，是到定点到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹，但要注意定点不在定直线上.11. 为椭圆上一点，则线段长度的最小值为_【答案】【解析】设，则，即线段长度的最小值为.12. 若函数在处取得极小值，则的取值范围是_【答案】【解析】由题意，得，若时，令，得，令，得，即函数在处取得极大值（舍）；当时，恒成立，即函数不存在极值；若时，令，得，令，得，即若函数在处取得极小值，此时.点睛：本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意可导函数在时存在极值，则，且两侧的
5、导函数异号，若时，时，则在时取得极小值，往往忽视验证两侧的导函数是否异号.13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为_【答案】【解析】因为，所以可设，由，得，即，因为在椭圆上，所以，即，即，即，即在区间上为增函数，所以，即椭圆的离心率的取值范围为.点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴垂直的情形，即椭圆和双曲线的通径，如过椭圆的左焦点与对称轴垂直的弦称为椭圆的通径，长度为，记住结论可减少运算量.14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为_【答案】【解析】当时，在上递增，显然成立；当时，在恒
6、成立，即，即；当时，的对称轴为，当，即时，可得，显然成立；当，即时，可得，即，解得，综上所述，即的取值范围为.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.二、解答题：（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数求；若复数 满足为实数，求【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到，再利用复数的概念确定
7、值，再利用模长公式进行求解.试题解析： 为实数 16. 已知：，；：方程表示双曲线若为真命题时，求实数的取值范围；当为假命题，且为真命题，求实数的取值范围【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式恒成立和判别式为负进行求解；（2）先利用双曲线的标准方程的特点求出的范围，再利用真值表判定两简单命题的真假，再利用集合的运算进行求解.试题解析：，解得方程表示双曲线，解得为假命题，且为真命题17. 当时，求证：； 已知，试证明至少有一个不小于【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由，当时，可得，即可证明结论；可用反证法：假设都小于，即，可得，进而，即可得
8、到矛盾，即可作出证明试题解析： 假设都小于，即则有 而 与矛盾故至少有一个不小于18. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和求的表达式；宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值【答案】(1)，；(2)宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元【解析】试题分析：（1）利用题意提取有关知识，利用
9、函数模型建立表达式；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最小值.试题解析：整理得，由得所以在上单调递减，在上单调递增故当时，取得最小值答：宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元19. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点求椭圆的标准方程；当直线的斜率为时，求的面积；试比较与大小【答案】(1);(2)；(3)答案见解析.试题解析：因为左顶点为，所以因为椭圆的离心率为，所以，解得又因为，所以故所求椭圆的标准方程为因为直线过原点，且斜率为所以直线的方程为代入椭圆方程解得因为，所以直线的方程为从而有故的面积等于方法一：设直线的方程为，代入椭圆方程得设，则有，解得从而由椭圆对称性可得所以于是故从而所以因为点在第二象限，所以，于是有方法二：设点，则点因为，所以直线的方程为所以从而 从而有20. 已知函数的最小值为设，求证：在上单调递增；求证：；求函数的最小值【答案】(1)在上单调递增；(2)证明见解析；(3)0.试题解析：在上单调递增由可知在上单调递增存在唯一的零点，设为，则 且当时，；当时，从而在上单调递增，在上单调递减所以的最小值 （当且仅当时取等号） （第二问也可证明，从而得到）同方法可证得在上单调递增存在唯一的零点，设为，则 且所以的最小值为 ，即由可知=在上单调递增所以的最小值为
