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1、第七章剪切与扭转 7 1扭转的概念及外力偶矩的计算 扭转的概念 轴是以扭转变形为主要变形的直杆 作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形 称扭转变形 变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度 称为扭转角 用表示 外力偶矩的计算 已知轴所传递的功率和轴的转速 导出外力偶矩 功率和转速之间的关系为 式中m 作用在轴上的外力偶矩 单位为Nm N 轴传递的功率 单位为KW n 轴的转速 单位为r min 7 2圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图 7 2 1扭矩 平衡条件 内力偶矩T称为扭矩 扭矩的单位 或 扭矩的正负号规定为 自截面的外法线向截面看 逆时针转向为正 顺时针转向为负 扭矩图 常用与
2、轴线平行的x坐标表示横截面的位置 以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩 把计算结果按比例绘在图上 正值扭矩画在x轴上方 负值扭矩画在x轴下方 这种图形称为扭矩图 主动轮 输入功率 B C D为从动轮 输出功率分别为 试求各段扭矩 解 1 计算外力偶矩 为负值说明实际方向与假设的相反 2 分段计算扭矩 分别为 图c 图d 图e 3 作扭矩图 1 变形几何关系 7 3等直圆轴扭转时横截面上的切应力 7 3 1实心圆轴横截面上的应力 变形后 圆轴上所有的横截面均保持为平面 即平面假设 横截面上的半径仍保持为直线 各横截面的间距保持不变 2 物理关系 3 静力学关系 称截面的极惯性矩 得到圆轴扭转横截
3、面上任意点切应力公式 它是与截面形状和尺寸有关的量 7 3 2极惯性矩和抗扭截面系数 实心圆截面的极惯性矩 抗扭截面系数为 空心圆极惯性矩轴 空心圆的抗扭截面系数 极惯性矩的量纲是长度的四次方 常用的单位为mm4 抗扭截面系数的量纲是长度的三次方 常用单位为mm3 工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 即 7 4等直圆轴扭转时的强度计算 7 4 1圆轴扭转强度条件 上式称为圆轴扭转强度条件 塑性材料 脆性材料 试验表明 材料扭转许用切应力 例题7 2汽车的主传动轴 由45号钢的无缝钢管制成 外径 壁厚 试校核该轴的强度 解 1 计算抗扭截面系数主传动轴的内外径之比 2 计算
4、轴的最大切应力 抗扭截面系数为 3 强度校核 主传动轴安全 解 1 求实心轴的直径 要求强度相同 即实心轴的最大切应力也为 即 例题7 3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴 要求它与原来的空心轴强度相同 试确定实心轴的直径 并比较空心轴和实心轴的重量 2 在两轴长度相等 材料相同的情况下 两轴重量之比等于两轴横截面面积之比 即 讨论 由此题结果表明 在其它条件相同的情况下 空心轴的重量只是实心轴重量的31 其节省材料是非常明显的 7 5 1圆轴扭转时的变形 7 5等直圆轴扭转时的变形及刚度条件 轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角 相距长度为l的两横截面相对扭转角为 当扭矩为常数 且 也为常量时
5、 它表示轴抵抗扭转变形的能力 式中 称为圆轴扭转刚度 相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定 即正扭矩产生正扭转角 负扭矩产生负扭转角 若两横截面之间T有变化 或极惯性矩变化 亦或材料不同 切变模量G变化 则应通过积分或分段计算出各段的扭转角 然后代数相加 即 对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率用表示 称为单位长度扭转角 即 7 5 2圆轴扭转刚度条件 对于建筑工程 精密机械 刚度的刚度条件 将上式中的弧度换算为度 得 对于等截面圆轴 即为 许用扭转角的数值 根据轴的使用精密度 生产要求和工作条件等因素确定 对于精密机器的轴 对一般传动轴 例题7 4图示轴的直径 切变模量 试计算该轴两端面之间的扭转角 解 两端面之间扭转为角 例题7 5主传动钢轴 传递功率 转速 传动轴的许用切应力 许用单位长度扭转角 切变模量 求传动轴所需的直径 解 1 计算轴的扭矩 2 根据强度条件求所需直径 3 根据圆轴扭转的刚度条件 求直径 故应按刚度条件确定传动轴直径 取
