《《向量组线性相关》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《向量组线性相关》PPT课件.ppt（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2向量组的线性相关性 主要内容 一 向量组线性相关 无关的定义二 向量组线性相关 无关的判定定理 2向量组的线性相关性 定义 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使k1a1 k2a2 kmam 0则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 例 2向量组的线性相关性 说明 只含一个向量a的向量组 当a 0时是线性相关的 当a 0时是线性无关的 说明 包含零向量的向量组是线性相关的 例 2向量组的线性相关性 解设数k1 k2 k3 使k1a1 k2a2 k3a3 0 则向量组a1 a2 a3线性相关 例判别向量组的线性相关性 2向量组的线性相关性 说明 向量组a
2、1 a2 am 当m 2时 线性相关的充分必要条件是a1 a2 am中至少有一个向量可由其余m 1个向量线性表示 证法一 设数k1 k2 k3 使k1b1 k2b2 k3b3 0 则k1 a1 a2 k2 a2 a3 k3 a3 a1 0 即 k1 k3 a1 k1 k2 a2 k2 k3 a3 0 由于向量组a1 a2 a3线性无关 有 例已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 向量组b1 b2 b3线性无关 2向量组的线性相关性 记作B AK 设BX O 以B AK代入 得A KX O 因为矩阵A的列向量
3、组线性无关 所以可推知KX O 又因 K 2 0 知方程KX O只有零解X O 所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关 证法二把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 2向量组的线性相关性 记作B AK 因 K 2 0 知K可逆 有R A R B 由矩阵A的列向量组线性无关可知 矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关 证法三把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 2向量组的线性相关性 定理 1 若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am 1也线性相关 反言之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 2向量组的线性相关性 例 2向量组的线性相关性 例 2向量组的线性相关性 定理 2 m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n 1个n维向量一定线性相关 2向量组的线性相关性 例4个3维向量线性相关 5个3维向量线性相关 2向量组的线性相关性 定理 3 设向量组A a1 a2 am线性无关 而向量组B a1 a2 am b线性相关 则向量b必能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的 2向量组的线性相关性 例 2向量组的线性相关性 总结1 线性相关与线性无关的概念 2 线性相关与线性无关的判定方法 定义及定理
