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1、1 高考领航 2015 届高考数学新一轮总复习 4 2 平面向量基本定理 及坐标表示基础盘点系统化AB演练 理 A组基础演练 1 2013 辽宁 已知点A 1 3 B 4 1 则与向量AB 同方向的单位向量为 A 3 5 4 5 B 4 5 3 5 C 3 5 4 5 D 4 5 3 5 解析 A 1 3 B 4 1 AB 3 4 又 AB 5 与AB 同向的单位向量为 AB AB 3 5 4 5 故选 A 答案 A 2 2013 陕西 已知向量a 1 m b m 2 若a b 则实数m等于 A 2 B 2 C 2或2 D 0 解析 因为a b 所以m 2 2 解得 m 2或m 2 故选 C
2、答案 C 3 非零不共线向量OA OB 且 2OP xOA yOB 若PA AB R 则点Q x y 的轨迹 方程是 A x y 2 0 B 2x y 1 0 C x 2y 2 0 D 2x y 2 0 解析 PA AB 得OA OP OB OA 即OP 1 OA OB 又 2OP xOA yOB x 2 2 y 2 消去 得x y 2 故选 A 答案 A 2 4 下列各组向量 e1 1 2 e2 5 7 e1 3 5 e2 6 10 e1 2 3 e2 1 2 3 4 能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 A B C D 解析 中e1与e2不共线 中e2 2e1 中e1 4e2 是共线向
3、量 答案 A 5 若三点A 2 2 B a 0 C 0 b ab 0 共线 则 1 a 1 b的值为 解析 AB a 2 2 AC 2 b 2 依题意 有 a 2 b 2 4 0 即ab 2a 2b 0 所以 1 a 1 b 1 2 答案 1 2 6 已知向量a 1 2 b x 1 u a 2b v 2a b 且u v 则实数x的值为 解析 因为a 1 2 b x 1 u a 2b v 2a b 所以u 1 2 2 x 1 2x 1 4 v 2 1 2 x 1 2 x 3 又因为u v 所以 3 2x 1 4 2 x 0 即 10 x 5 解得x 1 2 答案 1 2 7 在平面直角坐标系中
4、O为坐标原点 A B C三点满足OC 2 3OA 1 3OB 则 AC AB 解析 OC 2 3OA 1 3OB OC OA 1 3OA 1 3OB 1 3 OB OA AC 1 3AB AC AB 1 3 3 答案 1 3 8 已知a 1 2 b 3 2 是否存在实数k 使得ka b与a 3b共线 且方向相反 解 若存在实数k 则ka b k 1 2 3 2 k 3 2k 2 a 3b 1 2 3 3 2 10 4 若向量ka b与向量a 3b共线 则必有 k 3 4 2k 2 10 0 解得k 1 3 这时ka b 10 3 4 3 所以ka b 1 3 a 3b 即两个向量恰好方向相反
5、故题设的实数k存在 9 如图所示 M是 ABC内一点 且满足条件AM 2BM 3CM 0 延长CM交AB于N 令CM a 试用a表示CN 解 因为AM AN NM BM BN NM 所以由AM 2BM 3CM 0 得 AN NM 2 BN NM 3CM 0 所以AN 3NM 2BN 3CM 0 又因为A N B三点共线 C M N三点共线 由平面向量基本定理 设AN BN CM NM 所以 BN 3NM 2BN 3 NM 0 所以 2 BN 3 3 NM 0 由于BN 和NM 不共线 由平面向量基本定理 得 2 0 3 3 0 所以 2 1 所以CM NM MN CN CM MN 2CM 2a
6、 B组能力突破 1 在 ABC中 点P在BC上 且BP 2PC 点Q是AC的中点 若PA 4 3 PQ 1 5 4 则BC 等于 A 2 7 B 6 21 C 2 7 D 6 21 解析 BC 3PC 3 2PQ PA 6PQ 3PA 6 30 12 9 6 21 答案 B 2 2013 湖北襄樊二模 在 ABC中 a b c分别为 A B C的对边 且c b a 若向量m a b 1 和n b c 1 平行 且sin B 4 5 当 ABC的面积为 3 2时 则 b A 1 3 2 B 2 C 4 D 2 3 解析 由向量m a b 1 和n b c 1 平行知a c 2b 由 1 2acs
7、in B 3 2 ac 15 4 由c b a知 B为锐角 由cos B 3 5 a 2 c 2 b2 2ac 3 5 联立 得 b 2 答案 B 3 已知向量OA 3 4 OB 6 3 OC 5 m 3 m 若点A B C能构成三 角形 则实数m满足的条件是 解析 AB OB OA 6 3 3 4 3 1 BC OC OB 5 m 3 m 6 3 1 m m 若AB BC 3m 1 m m 1 2 当m 1 2时 A B C不共线 答案 m 1 2 4 在 ABCD中 A 1 1 AB 6 0 点M是线段AB的中点 线段CM与BD交于点P 1 若AD 3 5 求点C的坐标 5 2 当 AB
8、AD 时 求点P的轨迹 解 1 设点C坐标为 x0 y0 又AC AD AB 3 5 6 0 9 5 即 x0 1 y0 1 9 5 x0 10 y0 6 即点C的坐标为 10 6 2 由三角形相似 不难得出PC 2MP 设P x y 则BP AP AB x 1 y 1 6 0 x 7 y 1 AC AM MC 1 2AB 3MP 1 2AB 3AP 1 2AB 3AP AB 3x 3 3y 3 6 0 3x 9 3y 3 AB AD ABCD为菱形 BD AC BP AC 即 x 7 y 1 3x 9 3y 3 0 x 7 3x 9 y 1 3y 3 0 x 2 y 2 10 x 2y 22 0 y 1 x 5 2 y 1 2 4 y 1 故点P的轨迹是以 5 1 为圆心 2 为半径的圆去掉与直线y 1 的两个交点
