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1、1 高考 A计划 2014高考数学第一轮复习第 12 课时 反函数学案新人教 A版 一 课题 反函数 二 教学目标 理解反函数的意义 会求一些函数的反函数 掌握互为反函数的函数图象间的关系 会利用 xfy与 1 xfy的性质解决一些问题 三 教学重点 反函数的求法 反函数与原函数的关系 四 教学过程 一 主要知识 1 反函数存在的条件 从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数 2 反函数的定义域 值域上分别是原函数的值域 定义域 若 yf x与 1 yfx互为反函数 函数 yfx的定义域为A 值域为B 则 1 ffxx xB 1 ff xx xA 3 互为反函数的两个函数具有相同的单调性
2、 它们的图象关于yx对称 二 主要方法 1 求反函数的一般方法 1 由 yf x解出 1 xfy 2 将 1 xfy中的 x y互换位置 得 1 yfx 3 求 yf x的值域得 1 yfx的定义域 三 例题分析 例 1 求下列函数的反函数 1 2 1 f xxx x 2 2 2 1 01 10 xx f x xx 3 32 331yxxx 解 1 由 2 1 yxx x得 22 11 1 24 yxx 211 0 24 xyy 所求函数的反函数为 2 11 0 24 yxx 2 当01x时 得1 10 xyy 当10 x时 得 01 xyy 所求函数的反函数为 1 10 01 xx y xx
3、 3 由 32 331yxxx得 3 1 2yx 3 12 xyyR 所求反函数为 13 12 fxxxR 例 2 函数 11 1 ax yxxR axa 的图象关于yx对称 求a的值 解 由 11 1 ax yxxR axa 得 1 1 1 y xy a y 1 1 1 1 x fxx a x 由题知 1 f xfx 11 1 1 xax a xax 1a 例 3 若 2 1 既在 f xmxn的图象上 又在它反函数图象上 求 m n的值 解 2 1 既在 f xmxn的图象上 又在它反函数图象上 2 1 2 2 1 f f 2 21 mn mn 3 7 m n 例4 高考 A计划 考点 1
4、2 智能训练第5 题 设函数 x x xf 1 21 又函数 xg与 1 1 yfx的图象关于yx对称 求 2 g的值 解法一 由 12 1 x y x 得 1 2 y x y 11 2 x fx x 1 1 3 x fx x xg与 3 x y x 互为反函数 由 2 3 x x 得 2 2g 解法二 由 1 1 yfx得 1xf y 1g xfx 2 2 12gf 例 5 已知函数 yfx 定义域为 A 值域为B 有反函数 1 yfx 则方程 0fx有解 xa 且 f xx xA的充要条件是 1 yfx满足 11 0 fxx xBfa且 例 6 高考A计划 考点12 智能训练第15 题 已
5、知 21 21 x x a f xaR 是R上的奇函 数 1 求a的值 2 求 f x的反函数 3 对任意的 0 k解不等式 1 2 1 log x fx k 解 1 由题知 0 0f 得1a 此时 21212112 0 21212112 xxxx xxxx f xfx 即 f x为奇函数 2 212 1 2121 x xx y 得 1 2 11 1 x y y y 1 2 1 log 11 1 x fxx x 3 1 2 1 log x fx k 11 1 11 xx xk x 1 11 xk x 当02k时 原不等式的解集 11 xkx 当2k时 原不等式的解集 11 xx 四 巩固练习 1 设 2 1 01 2 10 x xx f x x 则 1 5 4 f 2 设0 1aa 函数log a yx的反函数和 1 log a yx的反函数的图象关于 Ax轴对称 By轴对称 Cyx轴对称 D原点对称 3 已知函数 1 1 2 x f x 则 1 fx的图象只可能是 1 x y O 2 x y O1 x y O 1 1 x y O2 3 A B C D 4 若6yax与 1 3 yxb的图象关于直线yx对称 且点 b a在指数函数 f x的图象上 则 f x 五 课后作业 高考A计划 考点12 智能训练1 2 3 6 10 12 14
