《高考数学总复习基础知识名师讲义第十章第二节直线与圆的位置关系文.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习基础知识名师讲义第十章第二节直线与圆的位置关系文.pdf（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第二节直线与圆的位置关系 知识梳理 一 与圆有关的角的概念 1 圆心角 顶点在圆心 两边和圆相交的角叫做圆心角 如图 1 中的 AOB 2 圆周角 顶点在圆上 两边和圆相交的角叫做圆周角 如图 2 中的 BAC 3 弦切角 顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 如图 3 中的 BAT 2 二 与圆有关的角的性质 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相 等 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是
2、直径 3 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 三 圆的切线的判定和性质 1 圆的切线的判定 经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 圆的切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 四 与圆有关的比例线段 1 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 2 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段 长的积相等 3 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条 线段长的比例中项 4 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线
3、它们的切线长相等 圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角 五 圆内接四边形的判定和性质 1 圆内接四边形的判定 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共 圆 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 2 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 六 直线和圆的位置关系 相切 相离 相交 设圆的半径为r 圆心到直线的距离为 d 则有 dr 七 圆与圆的位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 3 设圆 O1与圆 O2的半径分别为 r1和 r2 两圆的圆心距为d 于是有 1 d r1 r2 两圆相离 2 d r1
4、r2 两圆外切 3 r1 r2 d r1 r2 两圆相交 4 d r1 r2 两圆内切 5 d r1 r2 两圆内含 六 相交相切相离 基础自测 1 2013 湖南卷 如图 在半径为7的 O 中 弦 AB CD 相交于点P PA PB 2 PD 1 则圆心 O 到弦 CD 的距离为 解析 由相交弦定理得 AP PB DP PC 所以PC 4 DC 5 所以圆心到CD 的距 离为 d r2 DC 2 2 3 2 答案 3 2 2 已知圆的直径AB 13 cm C 是圆周上一点 不同于 A B 点 CD AB 于 D CD 6 cm 则 BD 4 解析 设 BD x 连接AC BC 由直角三角形中
5、的射影定理得CD 2 AD DB 即 36 13 x x 解得 x 4 或 x 9 答案 4 或 9 3 2012 肇庆二模 如图所示 AB 的延长线上任取一点C 过 C 作圆的切线CD 切点 为 D ACD 的平分线交AD 于点 E 则 CED 解 析 连接 BD BD 与 EC 相交于点F 设 1 CED 2 DFE 因为 1 A ACE 2 CDB ECD CDB A ECD ACE 所以 1 2 而 ADB 90 所以 CED 45 答案 45 4 2012 湖北卷 如图所示 点D 在 O 的弦 AB 上移动 AB 4 连接OD 过点D 作 OD 的垂线交 O 于点 C 则 CD 的最
6、大值为 5 解析 因为 CD OC 2 OD2 且 OC 为 O 的半径 是定值 所以当 OD 取最小值时 CD 取最大值 显然当OD AB 时 OD 取最小值 故此时CD 1 2AB 2 即为所求的最大 值 答案 2 6 1 2013 广东卷 如图 AB 是圆 O 的直径 点 C 在圆 O 上 延长 BC 到 D 使 BC CD 过 C 作圆 O 的切线交AD 于 E 若 AB 6 ED 2 则 BC 7 解析 依题意易知 ABC CDE 所以 AB CD BC DE 又 BC CD 所以 BC2 AB DE 12 从而 BC 2 3 答案 2 3 2 2013 天津卷 如图 在圆内接梯形A
7、BCD 中 AB DC 过点 A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E 若 AB AD 5 BE 4 则弦 BD 的长为 解析 因为 AB DC 所以四边形ABCD 是等腰梯形 所以BC AB AD 由切割线 定理得 EB EC EA 2 所以 4 4 5 EA2 所以 EA 6 由于 AB AD 5 AE 为切线 所以 DBA BDA BAE 在 ABE 中 由余弦定理得 42 52 62 2 5 6cos BAE 所以 cos BAE 62 52 42 2 5 6 3 4 而 cos BDA 3 4 所以 BD 2ABcos BDA 2 5 3 4 15 2 答案 15 2 8 1 2013
8、 珠海二模 如图 圆O 内的两条弦AB CD 相交于圆内一点P 已知 PA 4 PB 2 4PC PD 则 CD 的长为 解析 由相交弦定理知PA PB PD PC 因为 PA 4 PB 2 4PC PD 所以 4 2 4PC2 得 PC 2 所以 PD 42 CD PC PD 52 答案 5 2 9 第 1 题图第 2 题图 2 2012 惠州一模 如图 已知Rt ABC 中 ACB 90 BC 4 AC 3 以 AC 为 直径作圆 O 交 AB 于点 D 则 CD 解析 因 ADC 为直径 AC 所对的圆周角 则 ADC 90 在 Rt ACB 中 CD AB 由等面积法有AB CD CA CB 故得 CD 12 5 答案 12 5
