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1、分式方程的应用 宜宾市高县胜天中学 李诗富 教学目标 1 了解用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题 2 能用分式方程来解决现实情境中的问题重点 理解 实际问题 分式方程模型的过程 难点 实际问题中的等量关系的建立 关键 分析实际问题中的量与量之间的关系 正确列出分式方程 回顾与思考 什么叫分式方程 分母中含有未知数的方程叫分式方程什么叫增根 使原分式方程的分母为零的根是原分式方程的增根产生增根的原因是什么 去分母时 在分式方程的两边同时乘以了一个可能使分式方程的分母为零的整式列方程解应用题的一般步骤分哪几步 审题找等量关系设未知数列方程解方程检验答题 列方程解应用题的基本步骤是 1 审
2、 审清题意 2 设 设未知数 3 列 根据等量关系列出方程 组 4 解 解出方程 组 5 答 写出答案 行程问题动物趣闻自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后 它就成了动物界的体育明星 可是偏偏有一只蚂蚁不服气 于是它给乌龟下了一封挑战书 乌龟先生 我与你进行比赛 兔子先生做裁判 从小柳树开始跑到相距15米的大柳树下 比赛枪声响后 先到是冠军 蚂蚁 比赛结束后 蚂蚁并没有取胜 已知乌龟的速度是蚂蚁的1 5倍 提前1分钟跑到终点 请你算算它们各自的速度 等量关系 分析 设的速度为x米 分 蚂蚁 蚂蚁所用时间 乌龟所用时间 1 x 1 5x 列出方程 例1 八年级二班学生去距学校10千米世界博物馆参观
3、一部分同学骑自行车先走 过了20分后其余同学乘汽车出发 结果他们同时到达 已知汽车的速度是骑车速度的2倍 求骑车同学的速度 分析 设骑车同学速度为v千米 时 提示 20分 小时 v 2v 10 10 解 设骑自行车同学的速度为v千米 时20分 小时由题意 得 检验 当v 15时 2v 300 v 15是原分式方程的解 答 骑车同学的速度为15千米 时 解得v 15 例2利华中学初二年级的学生到距学校15千米的风景区秋游 一部分人骑自行车先走 40分钟后 其余的人乘汽车出发 结果他们同时到达 已知汽车的速度是自行车的3倍 求两车的速度 学校 自行车先走了40分钟 A 风景区 X 15 3X 15
4、 分析 设自行车的速度是x千米 时 汽车所用时间 自行车所用时间 汽车才开始走 例2利华中学初二年级的学生到距学校15千米的风景区秋游 一部分人骑自行车先走 40分钟后 其余的人乘汽车出发 结果他们同时到达 已知汽车的速度是自行车的3倍 求两车的速度 解 设自行车的速度为x千米 时 那么汽车的速度为3x千米 时 依题意 得 解得x 15 经检验 15是原方程的根 由x 15得3x 45 答 自行车的速度为15千米 时 汽车的速度为45千米 时 例1利华中学初二年级的学生到距学校15千米的风景区秋游 一部分人骑自行车先走 40分钟后 其余的人乘汽车出发 结果他们同时到达 已知汽车的速度是自行车的
5、3倍 求两车的速度 这道题可以通过列方程组来解决吗 问题2 设 自行车的速度为x千米 小时 汽车的速度为y千米 小时 问题1 这道题能列成整式方程 组 吗 1 甲 乙两人练习骑自行车 已知甲每小时比乙多走6千米 甲骑90千米所用的时间和乙骑60千米所用时间相等 求甲 乙每小时各骑多少千米 解 设甲每小时骑x千米 则乙每小时骑 x 6 千米 依题意得 试一试 解得x 18 经检验x 18是所列方程的根 X 6 12 千米 答 甲每小时骑18千米 乙每小时骑12千米 2 某两班学生利用双休日到距学校12千米的烈士陵园扫墓 植树 一部分人骑自行车 其余的人乘汽车 已知汽车的速度是自行车的速度的3倍
6、如果骑自行车的人先走 半小时后 乘汽车的人出发 结果他们同时到达 求两种车的速度 自行车所行的时间 汽车所行的时间 1 2 12 12 x 3x 12 x 12 3X 变式 某两班学生利用双休日到距学校12千米的烈士陵园扫墓 植树 一部分人骑自行车 其余的人乘汽车 已知汽车的速度是自行车的速度的3倍 如果骑自行车的人先走 20分钟后乘汽车的人出发 结果乘汽车的人比骑自行车的人还早到10分钟 求两种车的速度 例1 解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务 部队官兵到达灾区后 目睹灾情 心急如焚 他们增派机械车辆 争分夺秒 每天比原计划多打3口井 结果提前5天完成任务 求原计划每天打多少口井 工
7、程问题 工作时间 工作效率 工作总量 原计划 实际上 30 30 若设原计划每天打x口井 则实际上每天打 x 3 口井 x x 3 例1 解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务 部队官兵到达灾区后 目睹灾情 心急如焚 他们增派机械车辆 争分夺秒 每天比原计划多打3口井 结果提前5天完成任务 求原计划每天打多少口井 工作时间 工作效率 工作总量 原计划 实际上 30 30 x x 3 例2 解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务 部队官兵到达灾区后 目睹灾情 心急如焚 他们增派机械车辆 争分夺秒 每天比原计划多打3口井 结果提前5天完成任务 求原计划每天打多少口井 工作时间 工作效率 工
8、作总量 原计划 实际上 30 30 如果设原计划a天完成任务 则实际上 a 5 天完成了任务 a a 5 1 某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民 为尽快把纯净水发往灾区 工人把每天的工作效率提高到原计划的1 5倍 结果比原计划提前3天完成了生产任务 同步练习 1 求实际上多少天完成生产任务 x 3 x 1800 1800 解 设实际上x天完成生产任务 则原计划需要 x 3 天由题意可得 2 某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民 为尽快把纯净水发往灾区 工人把每天的工作效率提高到原计划的1 5倍 结果比原计划提前3天完成了生产任务 同步练习 2 求原计划每天生产多少吨纯净水 解 设原计
9、划每天生产x吨纯净水 则实际上每天生产1 5x吨由题意可得 例3 某市为治理污水 需要铺设一段全长为300m的污水排放管道 铺设120m后 为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响 后来每天的工效比原计划增加20 结果共用30天完成这一任务 求原计划每天铺设管道的长度 工作时间 工作效率 工作总量 前阶段 后阶段 120 300 120 x 例3 某市为治理污水 需要铺设一段全长为300m的污水排放管道 铺设120m后 为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响 后来每天的工效比原计划增加20 结果共用30天完成这一任务 求原计划每天铺设管道的长度 解 设原计划每天铺设管道x米 则后来每天铺设 1
10、20 x米 答 原计划每天铺设管道9米 例3 格式 3 根据规划设计 某市工程队准备在开发区修建一条长300米的盲道 铺设了60米后 由于采用新的施工方式 实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米 结果共用了8天完成任务 问该工程队改进技术后每天铺设盲道多少米 解 设该工程队改进技术后每天铺设盲道x米 则之前每天铺设 x 10 米 同步练习 4 某工程队承接了3000米的修路任务 在修好600米后 引进了新设备 工作效率是原来的2倍 一共用30天完成了任务 求引进新设备前平均每天修路多少米 解 设改进新设备前每天修路x米 则之后每天修路2x米 同步练习 5 某市为了治理污水 需要铺设一条全长5
11、50米的污水排放管道 为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响 实际施工时 每天的工效比原计划增加10 结果提前5天完成这一任务 原计划每天铺设多少米管道 同步练习 解 设原计划每天铺设管道x米 则实际上每天铺设 1 10 x米 例4 工作总量看成单位1的类型 学习知识点 预备知识 1 一项工程 甲工程队单独完成需要10天 则每天完成多少 2 一项工程 甲工程队单独完成需要a天 则每天完成多少 乙工程队单独完成需要b天 则两队合作多少天可以完成 每天完成整个工程的 即甲队的工效为 每天完成整个工程的 即甲队的工效为 乙队的工效为 两队合作的工效之和为 例4 工作总量看成单位1的类型 学习知识点
12、3 一项工程 甲工程队单独完成需要a天 问甲队工作3天后 完成多少工作量 4 一项工程 乙工程队单独完成需要b天 问乙队工作10天后 完成了多少工作量 5 一项工程 甲工程队单独完成需要a天 乙工程队单独完成需要b天 问两队合作5天可以完成多少工作量 若刚好完成了这项工程 可得方程 例4 工作总量看成单位1的类型 学习知识点 一项工程 甲工程队单独完成需要a天 乙工程队单独完成需要b天 现在先让甲队单独工作3天 再由乙队单独工作5天 最后让两个队一起合作8天 若刚好完成了这项工程 可得方程 若他们完成了整个工程的一半 则可得方程 玉树地震后 有一段公路急需抢修 此项工程原计划由甲工程队独立完成
13、 需要20天 在甲工程队施工4天后 为了加快工程进度 又调来乙工程队与甲工程队共同施工 结果比原计划提前10天 为抗震救灾赢得了宝贵时间 求乙工程队独立完成这项工程需要多少天 例4 工作总量看成单位1的类型 学习知识点 1 2 第1阶段 第2阶段 甲单独工作4天 甲乙合作 20 4 10 6天 玉树地震后 有一段公路急需抢修 此项工程原计划由甲工程队独立完成 需要20天 在甲工程队施工4天后 为了加快工程进度 又调来乙工程队与甲工程队共同施工 结果比原计划提前10天 为抗震救灾赢得了宝贵时间 求乙工程队独立完成这项工程需要多少天 例4 工作总量看成单位1的类型 学习知识点 解 设乙工程队独立完
14、成这项工程需要x天 答 乙工程队独立完成这项工程需要12天 6 在我市某一城市美化工程招标时 有甲 乙两个工程队投标 经测算 甲队单独完成这项工程需要60天 若由甲队先做20天 剩下的工程由甲 乙合做24天可完成 问乙队单独完成这项工程需要多少天 知识点反馈 同步练习 解 设乙队单独完成这项工程需要x天 7 在达成铁路复线工程中 某路段需要铺轨 先由甲工程队独做2天后 再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务 已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天 求甲 乙工程队单独完成这项任务各需要多少天 知识点反馈 同步练习 解 设甲队单独完成这项工程需要x天 8 在社会主义新农村建设
15、中 某乡镇决定对一段公路进行改造 已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成 如果由乙工程队先单独做10天 那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成 1 求乙工程队单独完成这项工程所需的天数 2 求两队合做完成这项工程所需的天数 知识点反馈 同步练习 答 乙工程队独立完成这项工程需要60天 两队合作只需24天 解 设乙工程队单独完成这项工程需要x天 例 某单位将沿街的一部分房屋出租 每间房屋的租金第二年比第一年多500元 所有房屋的租金第一年为9 6万元 第二年为10 2万元 1 你能找出这一情境中的等量关系吗 2 根据这一情境你能提出哪些问题 答 1 第二年每间房屋的租金 第一年每间房屋的
16、租金 500元 2 第一年出租房屋间数 第二年出租的房屋间数 3 出租房屋间数 所有出租房屋的租金 每间房屋的租金 答 1 求出租的房屋总间数 2 分别求两年每间房屋的租金 3 你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少 假如你是单位领导 其它问题 问题1 求出租的房屋总间数 解 设出租的房屋总间数为x间 依题意 得 解得x 12经检验x 12是所列方程的根 所以出租的房屋总间数为12间 得到结果记住要检验 第一年每间房屋的租金 第二年每间房屋的租金 500元 问题2 分别求这两年每间房屋的租金 解 设第一年每间房屋的租金为x元 则第二年每间房屋的租金为 x 500 元 依题意 得 解得x 8000经检验x 8000是所列方程的根 x 500 8500所以 第一年每间房屋的租金为8000元 第二年每间房屋的租金为8500元 小丽家去年12月的水费是15元 而今年7月份的水费是30元 已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米 求该市今年居民用水的价格 例题 某市从今年1月1日起调整居民用水价格 每立方米水费上涨1 3 主要等量关系 今年用水价格 去年用水价格 今年7
