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1、1 11 m l l 立体几何知识点整理 文科 一 直线和平面的三种位置关系 1 线面平行 l 符号表示 2 线面相交 A l 符号表示 3 线在面内 l 符号表示 二 平行关系 1 线线平行 方法一 用线面平行实现 ml m l l 方法二 用面面平行实现 ml m l 方法三 用线面垂直实现 若ml 则ml 方法四 用向量方法 若向量l和向量m共线且 l m 不重合 则ml 2 线面平行 方法一 用线线平行实现 l l m ml 方法二 用面面平行实现 l l 方法三 用平面法向量实现 若n为 平 面的 一 个 法 向 量 ln且l 则 l 3 面面平行 方法一 用线线平行实现 且相交 且
2、相交 ml ml mm ll 方法二 用线面平行实现 且相交ml m l m l n l m l l m m l l m 2 11 三 垂直关系 1 线面垂直 方法一 用线线垂直实现 l ABAC AABAC ABl ACl 方法二 用面面垂直实现 l lml m 2 面面垂直 方法一 用线面垂直实现 l l 方法二 计算所成二面角为直角 3 线线垂直 方法一 用线面垂直实现 ml m l 方法二 三垂线定理及其逆定理 PO lOAlPA l 方法三 用向量方法 若向量l和向量m的数量积为0 则ml 三 夹角问题 一 异面直线所成的角 1 范围 90 0 2 求法 方法一 定义法 步骤 1 平
3、移 使它们相交 找到夹角 步骤 2 解三角形求出角 常用到余弦定理 余弦定理 ab cba 2 cos 222 计算结果可能是其补角 方法二 向量法 转化为向量 的夹角 计算结果可能是其补角 ACAB ACAB cos 二 线面角 1 定义 直线l 上任取一点P 交点除外 作 PO于 O 连结 AO 则 AO 为斜线 PA 在面内 的射影 PAO 图中 为直线 l 与面所成的角 A O P 2 范围 90 0 A B C l l m l m l c b a A B C n A O P l A O P 3 11 当0时 l或 l 当90时 l 3 求法 方法一 定义法 步骤 1 作出线面角 并证
4、明 步骤 2 解三角形 求出线面角 三 二面角及其平面角 1 定义 在棱l 上取一点P 两个半平面内分别作 l 的垂线 射线 m n 则射线 m 和 n 的夹角为 二面角 l 的平面角 n m l P 2 范围 180 0 3 求法 方法一 定义法 步骤 1 作出二面角的平面角 三垂线定理 并证明 步骤 2 解三角形 求出二面角的平面角 方法二 截面法 步骤 1 如图 若平面 POA 同时垂直于平面和 则交线 射线 AP 和 AO 的夹角就是二面角 步骤 2 解三角形 求出二面角 A O P 方法三 坐标法 计算结果可能与二面角互补 n1 n2 步骤一 计算 12 12 12 cos n n
5、nn nn u r u u r u r u u r uru u r 步骤二 判断与 12 n n u r u u r 的关系 可能相等或 者互补 四 距离问题 1 点面距 方法一 几何法 OA P 步骤 1 过点 P 作 PO于 O 线段 PO 即为所求 步骤 2 计算线段PO 的长度 直接解三角形 等 体积法和等面积法 换点法 2 线面距 面面距均可转化为点面距 3 异面直线之间的距离 方法一 转化为线面距离 n m 如图 m 和 n 为两条异面直线 n且 m 则异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直 线 m 与平面之间的距离 方法二 直接计算公垂线段的长度 方法三 公式法 4 11 d
6、c b a m D C BAm n 如图 AD 是异面直线m 和 n 的公垂线段 mm 则异面直线m 和 n 之间的距离为 cos2 222 abbacd 五 空间向量 一 空间向量基本定理 若向量cba 为空间中不共面的三个向量 则对空间中任意一个向量p 都存在唯一的有序实数对 zyx 使得czbyaxp 二 三点共线 四点共面问题 1 A B C 三点共线 OAxOByOC u uu ru uu ruu u r 且1xy 当 2 1 yx时 A 是线段 BC 的 A B C 三点共线ACAB 2 A B C D 四点共面 OAxOByOCzOD u uu ruu u ruuu ru uu
7、r 且1xyz 当 1 3 xyz时 A是 BCD的 A B C D 四点共面ADyACxAB 三 空间向量的坐标运算 1 已知空间中A B 两点的坐标分别为 111 A xy z 222 B xyz则 AB u uu r BA d AB uu u r 2 若空间中的向量 111 ax y z r 222 zyxb 则ab rr ab rr A B C D 1 A 1 C 1 B 5 11 a b r r cosa b r r 六 常见几何体的特征及运算 一 长方体 1 长方体的对角线相等且互相平分 2 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为 则 222 coscoscos 若长方体
8、的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为 则 222 coscoscos 3 若长方体的长宽高分别为a b c 则体对角线长为 表面积为 体积为 二 正棱锥 底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心 三 正棱柱 底面是正多边形的直棱柱 四 正多面体 每个面有相同边数的正多边形 且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体 只有五种正多面体 五 棱锥的性质 平行于底面的的截面与底面相似 且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比 正棱锥的性质 各侧棱相等 各侧面都是全等的等腰三角形 六 体积 棱柱 V 棱锥 V 七 球 1 定义 到定点的距离等于定长的点的集合叫球面 2 设球半径为R 小圆的半径为
9、r 小圆圆心为O1 球心 O 到小圆的距离为d 则它们三者之间的数量关 系是 3 球面距离 经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度 4 球的表面积公式 体积公式 高考题典例 考点 1 点到平面的距离 6 11 例 1 如图 正三棱柱 111ABCABC 的所有棱长都为2 D 为 1CC 中点 求证 1 AB 平面 1A BD 求二面角 1 AA DB的大小 求点 C到平面 1 A BD的距离 解答过程 取 BC 中点 O 连结AO ABCQ 为正三角形 AOBC Q正三棱柱 111ABCA BC 中 平面 ABC 平面 11 BCC B AO 平面 11 BCC B 连结 1 B O
10、在正方形 11 BB C C中 O D 分别 为 1 BCCC 的中点 1 BOBD 1 ABBD 在正方形 11 ABB A中 11 ABA B 1 AB 平面 1 A BD 设 1AB 与 1 AB交于点 G 在平面 1A BD 中 作 1 GFA D 于 F 连 结 AF 由 得 1 AB 平面 1 A BD 1 AFAD AFG 为二面角 1 AA DB的平面角 在 1 AA D 中 由等面积法可求得 4 5 5 AF 又 1 1 2 2 AGABQ 210 sin 44 5 5 AG AFG AF 所以二面角 1 AA DB的大小为 10 arcsin 4 1 ABD 中 1 11
11、52 26 A BD BDADABS 1 BCD S 在正三棱柱中 1 A到平面 11 BCC B的距离为3 设点C到平面 1 ABD的距离为d 由 11 ABCDCA BD VV 得 1 11 3 33 BCDA BD SSdgg 1 32 2 BCD A BD S d S 点 C 到平面 1 A BD的距离为 2 2 考点 2 异面直线的距离 例 2 已知三棱锥ABCS 底面是边长为24的正三角形 棱 SC的长为 2 且垂直于底面 DE 分别为ABBC 的中点 求 A B C D 1 A 1 C 1 B O F 7 11 CD 与 SE 间的距离 解答过程 如图所示 取BD 的中点 F 连
12、结 EF SF CF EF为BCD的中位线 EF CDCD 面SEF CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的 距离 又线面之间的距离可转化为线CD上一点 C 到平面SEF 的距离 设其为h 由题意知 24BC D E F 分别是 AB BC BD 的中点 2 2 6 2 1 62SCDFCDEFCD 3 32 226 2 1 3 1 2 1 3 1 SCDFEFV CEFS 在 RtSCE中 32 22 CESCSE 在 RtSCF中 302244 22 CFSCSF 又3 6 SEF SEF由于hSVV SEFCEFSSEFC 3 1 即 3 32 3 3 1 h 解得 3 32 h 故
13、CD 与 SE 间的距离为 3 32 考点 3 直线到平面的距离 例 3 如图 在棱长为2 的正方体 1 AC中 G 是 1 AA的中点 求BD 到平面 11D GB的距离 思路启迪 把线面距离转化为点面距离 再用点到平面距离的方法求解 解答过程 解析一BD 平面 11D GB BD上任意一点到平面 11D GB的距离皆为所求 以下求 点 O 平面 11D GB的距离 1111 CADB AADB 111 11D B平面 11ACC A 又 11D B平面 11D GB平面 1111 DGBACCA 两个平面的交线是GO1 作GOOH 1 于 H 则有OH平面 11D GB 即 OH 是 O
14、点到平面 11D GB的距离 在OGO1 中 222 2 1 2 1 1 1 AOOOS OGO B A C D O G H 1 A 1 C 1 D 1 B 1 O 8 11 又 3 62 23 2 1 2 1 1 1 OHOHGOOHS OGO 即 BD 到平面 11D GB 的距离等于 3 62 解析二 BD 平面 11D GB BD上任意一点到平面 11D GB的距离皆为所求 以下求点B 平面 11D GB的距离 设点 B 到平面 11D GB的距离为h 将它视为三棱锥 11D GBB的高 则 由于6322 2 1 111111DGBGBBDDGBB SVV 3 4 222 2 1 3
15、1 11GBBD V 3 62 6 4 h 即 BD 到平面 11D GB的距离等于 3 62 小结 当直线与平面平行时 直线上的每一点到平面的距离都相等 都是线面距离 所以求线面距离关键是 选准恰当的点 转化为点面距离 本例解析一是根据选出的点直接作出距离 解析二是等体积法求出点面距 离 考点 4 异面直线所成的角 例 4 如图 在 RtAOB 中 6 OAB 斜边4AB Rt AOC 可以通过 RtAOB 以直线AO为轴旋转 得到 且二面角BAOC的直二面角 D是AB的中点 I 求证 平面COD平面AOB II 求异面直线AO与CD所成角的大小 解答过程 I 由题意 COAO BOAO B
16、OC是二面角BAOC是直二面角 COBO 又AOBOOQI CO平面AOB 又CO平面COD 平面COD平面AOB II 作DEOB 垂足为E 连结CE 如图 则DEAO CDE 是异面直线AO与CD所成的角 在 RtCOE 中 2COBO 1 1 2 OEBO 22 5CECOOE O C A D B E O C A D B x y z 9 11 又 1 3 2 DEAO 在 RtCDE 中 515 tan 33 CE CDE DE 异面直线AO与CD所成角的大小为 15 arctan 3 小结 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形 作法有 平移法 在异面直线中的一条直 线上选择 特殊点 作另一条直线的平行线 如解析一 或利用中位线 如解析二 补形法 把空间 图形补成熟悉的几何体 其目的在于容易发现两条异面直线间的关系 如解析三 一般来说 平移法是最常 用的 应作为求异面直线所成的角的首选方法 同时要特别注意异面直线所成的角的范围 2 0 考点 5 直线和平面所成的角 例 5 四棱锥 SABCD中 底面 ABCD为平行四边形 侧面 SBC 底面 ABCD 已知45ABC o
