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1、1 高中数学必修二 空间几何体 1 1 空间几何体的结构 棱柱 定义 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行 由这些面所围成的几何体 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱 四棱柱 五棱柱等 表示 用各顶点字母 如五棱柱或用对角线的端点字母 如 五棱柱 EDCBAABCDE 几何特征 两底面是对应边平行的全等多边形 侧面 对角面都是平行四边形 侧棱平行 且相等 平行于底面的截面是与底面全等的多边形 棱锥 定义 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何体 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥 四棱锥 五
2、棱锥等 表示 用各顶点字母 如五棱锥 EDCBAP 几何特征 侧面 对角面都是三角形 平行于底面的截面与底面相似 其相似比等于顶点 到截面距离与高的比的平方 棱台 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 截面和底面之间 的部分 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态 四棱台 五棱台等 表示 用各顶点字母 如四棱台ABCD A B C D 几何特征 上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱 定义 以矩形的一边所在的直线为轴旋转 其余三边旋转所成的 曲面所围成的几何体 几何特征 底面是全等的圆 母线与轴平行 轴与底面 圆的半径垂直 侧面展开图是一个矩形 2 圆
3、锥 定义 以直角三角形的一条直角边为旋转轴 旋转一周所成的 曲面所围成的几何体 几何特征 底面是一个圆 母线交于圆锥的顶点 侧面 展开图是一个扇形 圆台 定义 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 截面和底面之 间的部分 几何特征 上下底面是两个圆 侧面母线交于原圆锥的顶点 侧面展开图是一个弓形 球体 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的 几何体 几何特征 球的截面是圆 球面上任意一点到球心的距离等 于半径 1 2 空间几何体的三视图和直观图 1 中心投影与平行投影 中心投影 把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影 平行投影 在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影 2 三
4、视图 正视图 从前往后 侧视图 从左往右 俯视图 从上往下 画三视图的原则 长对齐 高对齐 宽相等 3 直观图 斜二测画法 斜二测画法的步骤 1 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴 2 平行于 y 轴的线长度变半 平行于x z 轴的线长度不变 3 画法要写好 3 1 3 空间几何体的表面积与体积 1 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 2 特殊几何体表面积公式 c 为底面周长 h 为高 h 为斜高 l 为母线 chS直棱柱侧面积rhS2 圆柱侧 2 1 chS正棱锥侧面积 rlS圆锥侧面积 2 1 21 hccS正棱台侧面积 lRrS 圆台侧面积 lrrS2 圆柱表 lrrS圆锥表 22 R
5、RlrlrS圆台表 3 柱体 锥体 台体的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 3 VSS SS h 台 22 11 33 VSSSS hrrRRh 圆台 球体的表面积和体积公式 V 球 34 3 R S 球面 2 4 R 空间点 直线 平面的位置关系 公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线是所有的点都在这个平面内 即直线在平面内 或者平面经过直线 应用 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1 Al Bl ABl 公理 2 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 推论 一直线和直线外一点确定一平面 两相交直线确
6、定一平面 两平行直线确定一平面 公理 2 及其推论作用 它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号 平面 和 相交 交线是a 记作 a 符号语言 PABABl PlII 作用 它是判定两个平面相交的方法 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系 交线必过公共点 它可以判断点在直线上 即证若干个点共线的重要依据 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间两条直线的位置关系 位置关系公共点的个数 共面直线相交直线在同一个平面内 有且仅有一个公共点 平行直线在同一个平面内 没有公共点 异面直线
7、不同在任何一个平面内 没有公共点 4 直线与平面的位置关系 位置关系公共点的个数 直线在平面内直线上有两个点在平面内 则这条直线上的所有 点都在平面内 直线在平面外直线和平面相交直线与平面有且仅有一个公共点 直线和平面平行直线与平面没有公共点 空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义 不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质 既不平行 又不相交 异面直线判定 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角 直线 a b 是异面直线 经过空间任意一点O 分别引直线 a a b b 则把直线 a 和 b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a 和 b 所成的角 两
8、条异面直线 所成角的范围是 0 90 若两条异面直线所成的角是直角 我们就说这两条异面直线互相垂直 说明 1 判定空间直线是异面直线方法 根据异面直线的定义 异面直线的判定定 理 2 在异面直线所成角定义中 空间一点O 是任取的 而和点O 的位置无关 求异面直线所成角步骤 A 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点 选在特殊的位置上 B 证明作出的角即为所求角C 利用三角形来求角 7 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两角相等或互补 三种位置关系的符号表示 a a A a 8 平面与平面之间的位置关系 平行 没有公共点 相交 有一条
9、公共直线 b 空间中的平行问题 直线和平面平行 直线l与平面没有公共点 则称直线l与平面平行 记作 l 两个平面平行 没有公共点的两个平面叫做平行平面 1 直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 则该直线与此平面平行 线线平行线面平行 b a a ba ab 5 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平 面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 线面平行线线平行 2 平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 线面平行面面平行 如果两个平面同垂直
10、于一条直线 那么这两个平面平行 平行于同一个平面的两个平面平行 两个平面平行的性质定理 1 如果两个平面平行 那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 且a a 面面平行 线面平行 2 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 ba b a a l l ba b a a a b abP a b I 6 面面平行 线线平行 3 如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线 那么另一个平面也垂直于这条直线 空间角问题 1 直线与直线所成的角 两平行直线所成的角 规定为 0 两条相交直线所成的角 两条直线相交其中不大于直角的角 叫这两条直线所成的角 两条异面直线所成的角 过空间任意一点
11、O 分别作与两条异面直线a b 平行的直线 ba 形成两条相交直线 这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所 成的角 范围 0 2 2 直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角 规定为 0 平面的垂线与平面所成的角 规定为90 平面的斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫做这 条直线和这个平面所成的角 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角 一作 二证 三计算 在 作角 时依定义关键作射影 由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线 在解题时 注意挖掘题设中两个主要信息 1 斜线上一点到面的垂线 2 过斜线上的 一点或过斜线的平面与已知面垂直
12、 由面面垂直性质易得垂线 范围 0 2 3 二面角和二面角的平面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做 二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个 面内 分别作 垂直于 棱的两条射线 这两条射线所成的角叫二面 角的平面角 直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角 那么这两个平面垂直 反过来 如果两个平 面垂直 那么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法 在棱上选择有关点 过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂
13、线时 过两垂线作平面与两个面的交线所成的角 为二面角的平面角 范围 0 ll且 7 空间中的垂直问题 1 线线 面面 线面垂直的定义 两条异面直线的垂直 如果两条异面直线所成的角是直角 就说这两条异面直线互相垂 直 线面垂直 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直 就说这条直线和这个平面 垂直 平面和平面垂直 如果两个平面相交 所成的二面角 从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形 是直二面角 平面角是直角 就说这两个平面垂直 2 线线垂直 定义 直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直 就说直线l 与平面 互相垂直 该直线 叫做平面的垂线 该平面叫做这条直线的垂面 线面垂直的性质 ba
14、b a 线面垂直的判定定理 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线 垂直于这个平面 a cb Ocb ca ba 注意点 定理中的 两条相交直线 这一条件不可忽视 推论 如果在两条平行直线中 有一条垂直于平面 那么另一条直线也垂直这个平面 a b a b 线面垂直的性质定理 1 垂直于同一个平面的两条直线平行 a ab b 2 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 ab b a 三垂线定理 平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它就和这 条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直
15、那么 它也 8 和这条斜线的射影垂直 3 面面垂直 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相 垂直 面面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 面面垂直的性质定理 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 b a a ab I 直线与方程 1 直线的倾斜角 对于一条与 x 轴相交的直线 如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时 所转的最小正角叫做直线的倾斜角 直线的倾斜角 取值范围是 0 180 2 直线的斜率 定义 倾斜角不是90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常 用 k 表示
16、即tank 斜率反映直线与轴的倾斜程度 当90 0时 0k 当180 90时 0k 当90时 k 不存在 过两点的直线的 斜率公式 21 12 12 xx xx yy k 3 直线方程 点斜式 11 xxkyy直线斜率 k 且过点 11 y x 斜截式 bkxy 直线斜率为 k 直线在 y 轴上的截距为 b 两点式 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 直线两点 11 y x 22 y x 截矩式 1 xy ab 其中直线 l 与x轴交于点 0 a 与y轴交于点 0 b 即 l 与x轴 y轴的截 距分别为 a b 一般式 0CByAx A B 不全为 0 4 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 一 平行直线系 平 行 于 已 知 直 线0 000 CyBxA 00 B A是 不 全 为 0 的 常 数 的 直 线 系 0 00 CyBxA C 为常数 二 过定点的直线系 l l l 9 斜率为 k 的直线系 00 xxkyy 直线过定点 00 y x 过两条直线0 1111 CyBxAl 0 2222 CyBxAl的交点的直线系方程为 0 222111 CyBxAC
