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1、联盟2018届高三摸底考数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A B C D2.已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数（ ）A -1 B0 C1 D23.已知向量，若向量与平行，则实数=（ ）A-4 B4 C D 4.函数的图象大致是（ ）A BC. D5.九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦荟的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如
2、图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A B C. D6. 已知函数，其中且，若，则（ ）A 5 B C. D7.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）A4 B 5 C. 6 D78.若实数满足，则的最小值是（ ）A B C. D9.已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（ ）A B C. D10. 若两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C. D11.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线上异于点的两点满足，直线与交于点，和的面积满足，则点的横坐标为（ ）A-
3、4 B -2 C. 2 D412.已知函数，若存在正数，使得，则实数的取值范围是（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在的展开式中，的系数为 （用数字作答）14.已知，则双曲线的离心率的取值范围是 15.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中最大的面积为 16.若有穷数列满足，就称该数列为“相邻等和数列”，已知各项都为正整数的数列是项数为8的“相邻等和数列”，且，则满足条件的数列有 个三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知递增的等比数列和等差数列，满足，是和的等差中项，
4、且.（）求数列和的通项公式；（）若，求数列的前项和.18. 如图，在中，点在边上，且.（）求的长；（）求的值.19. 2017年诗词大会火爆荧屏，某校为此举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从参赛的全体学生中抽出60人的成绩（满分100分）作为样本.对这60名学生的成绩进行统计，并按，分组，得到如图所示的频率分布直方图.（）若同一组数据用该组区间的中点值代表，估计参加这次知识竞赛的学生的平均成绩；（）估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数（结果保留一位小数）；（）若规定80分以上（含80分）为优秀，用频率估计概率，从全体参赛学生中随机抽取3名，记其中成绩优秀的人数为，求的分布列与
5、期望.20. 已知在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是的中点.（）求证：平面；（）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21. 椭圆：的离心率为，椭圆截直线所得的弦长为.过椭圆的左顶点作直线与椭圆交于另一点，直线与圆：相切于点.（）求椭圆的方程；（）若，求直线的方程和圆的半径.22. 设函数.（）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求的值；（）若函数有两个零点，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13. 96由题意知， 的系数为 14. 由题意知，双曲线的方程可变形为，离心率 . 15. 由题意知，该三棱锥的直观图如图中的所示，则，故其四个面中最大的面积
6、为. 16.4设，由题意知，.数列各项都为正整数，则满足条件的数列有4个.三、解答题17.（）由题意知，解得，设等比数列的公比为，；由题意知，则等差数列的公差,.（），.18.（）在中，.在中，由正弦定理得，即，解得.（），解得，在中，在中，.19. （）设样本数据的平均数为，则.则估计参赛学生的平均成绩为72.5分.（）设样本数据的中位数为，由知.则，解得，故估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为73.3分.（）由题意知，样本中80分以上（包括80分）的概率为，则随机抽取一名学生的成绩是优秀的概率为，.，；，故的分布列为0123.20.（）取中点，连接.为的中点，是菱形，且，又为的中点，
7、为的中点，且，且，则四边形是平行四边形，.又平面，面，平面.（）取的中点为，是菱形，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为.即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21.（）由题意知，即，由椭圆截直线所得的弦长为，弦在第一象限的端点的坐标为，将代入上式，解得.椭圆的方程为.（）由（）知，设，设直线的方程为，联立，得，；联立，得，且；，解得，.22.（）由题意知，函数的定义域为，解得.（）若函数有两个零点，则方程恰有两个不相等的正实根，即方程恰有两个不相等的正实根.设函数，.当时，恒成立，则函数在上是增函数，函数最多一个零点，不合题意，舍去；当时，令，解得，令，解得，则函数在内单调递减，在上单调递增.易知时，恒成立，要使函数有2个正零点，则的最小值，即，即，解得，即实数的取值范围为.
