《高中数学2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质教案新人教A版选修11.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质教案新人教A版选修11.pdf（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2 1 2 椭圆的简单几何性质 第 1 课时椭圆的简单几何性质 教师用书独具 三维目标 1 知识与技能 掌握椭圆的简单几何性质 了解椭圆标准方程中a b c的几何意义 明确其相互关系 2 过程与方法 能够画出椭圆的图形 会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题 3 情感 态度与价值观 从离心率大小变化对椭圆形状的影响 体现数形结合 体会数学的对称美 和谐美 重点 难点 重点 由标准方程分析出椭圆几何性质 难点 椭圆离心率几何意义的导入和理解 对重难点的处理 为了突出重点 突破难点 应做好 让学生自主探索新知 重难点 之处进行反复分析 及时巩固 2 教师用书独具 教学建议 根据教学内容并结合学
2、生所具备的逻辑思维能力 为了体现学生的主体地位 遵循学生 的认知规律 宜采用这样的教学方法 启发式讲解 互动式讨论 研究式探索 反馈式评价 教学流程 创设问题情境 引出问题 椭圆有哪些简单几何性质 引导学生结合椭圆的图形 观察 比较 分析 导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质 引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质 通过例 1及其互动探究 使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法 通过例 2及其变式训练 使学生掌握由椭圆的几何性质求其标准方程的方法 探究离心率对椭圆形状的影响及求解方法 完成例3及其变式训练 从而解决如何求离心率问题 归纳整理 进行课堂小结 整体认识本节课所学知识 完成当
3、堂双基达标 巩固所学知识并进行反馈矫正 3 对应学生用书第22 页 课标解读 1 掌握椭圆的简单几何性质及应用 难点 2 掌握椭圆离心率的求法及a b c的几何意义 难点 3 理解长轴长 短轴长 焦距与长半轴长 短半轴长 半焦距的概念 易混点 椭圆的简单几何性质 问题导思 已知两椭圆C1 C2的标准方程 C1 x 2 25 y 2 16 1 C2 y 2 25 x 2 16 1 1 椭圆C1的焦点在哪个坐标轴上 a b c分别是多少 椭圆C2呢 提示 C1 焦点在x轴上 a 5 b 4 c 3 C2 焦点在y轴上 a 5 b 4 c 3 2 怎样求C1 C2与两坐标轴的交点 交点坐标是什么 提
4、示 对于方程C1 令x 0 得y 4 即椭圆与y轴的交点为 0 4 与 0 4 令y 0 得x 5 即椭圆与x轴的交点为 5 0 与 5 0 同理得C2与y轴的交点 0 5 4 0 5 与x轴的交点 4 0 4 0 焦点的 位置 焦点在x轴上焦点在y轴上 续表 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 顶点A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 轴长短轴长 2b 长轴长 2a 焦点F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 焦距 F1F2 2c 对称性对称轴为坐标轴 对称中心为 0 0 离心率e c a 椭圆的离心率
5、 问题导思 观察不同的椭圆 其扁平程度各不一样 如何刻画椭圆的扁平程度呢 提示 利用椭圆的离心率 1 定义 椭圆的焦距与长轴长的比e c a 叫做椭圆的离心率 2 性质 离心率e的范围是 0 1 当e越接近于1 椭圆越扁 当e越接近于0 椭圆就越接近 于圆 5 对应学生用书第23 页 由椭圆方程研究几何性质 已知椭圆16x 2 9y2 1 求椭圆的顶 点坐标 焦点坐标 长轴长 短轴长 焦距和离心率 6 思路探究 1 所给椭圆方程是标准形式吗 2 怎样由椭圆的标准方程求得a b c的值进而写出其几何性质中的基本量 自主解答 将椭圆方程化为 x 2 1 16 y 2 1 9 1 则a 2 1 9
6、b 2 1 16 椭圆焦点在 y轴上 c 2 a 2 b 2 1 9 1 16 7 144 所以顶点坐标为 0 1 3 1 4 0 焦点坐标为 0 7 12 长 轴长为 2 3 短轴长为 1 2 焦距为 7 6 离心率为 7 4 1 已知椭圆的方程讨论性质时 若不是标准形式的先化成标准形式 再确定焦点的位 置 进而确定椭圆的类型 2 焦点位置不确定的要分类讨论 找准a与b 正确利用a 2 b 2 c 2 求出焦点坐标 再 写出顶点坐标 同时要注意长轴长 短轴长 焦距不是a b c 而应是a b c的两倍 7 本例中 若把椭圆方程改为 25x 2 16y2 400 试求其长轴长 短轴长 离心率
7、焦 点与顶点坐标 解 将方程变形为 y 2 25 x 2 16 1 得a 5 b 4 所以c 3 故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a 10 和 2b 8 离心率e c a 3 5 焦点坐标为F1 0 3 F2 0 3 顶点坐标为A1 0 5 A2 0 5 B1 4 0 B2 4 0 由椭圆的几何性质求其标准方程 8 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 长轴长是短轴长的2 倍 且过点 2 6 2 过 3 0 点 离心率e 6 3 思路探究 1 椭圆的焦点位置确定了吗 2 你将怎样求得a 2 b 2 并写出标准方 程 自主解答 1 由题意知2a 4b a 2b 设椭圆标准方程为 x 2 a 2 y
8、2 b 2 1 或y 2 a 2 x 2 b 2 1 代入点 2 6 得 4 a 2 36 b 2 1 或 36 a 2 4 b 2 1 将a 2b代入得 a 2 148 b 2 37 或 a 2 52 b 2 13 故所求的椭圆标准方程为 x 2 148 y 2 37 1 或 y 2 52 x 2 13 1 2 当椭圆焦点在x轴上时 有a 3 c a 6 3 c 6 b 2 a2 c 2 9 6 3 椭圆的标准方程为 x 2 9 y 2 3 1 当椭圆焦点在y轴上时 b 3 c a 6 3 a 2 b 2 a 6 3 a 2 27 椭圆的标准方程为 x 2 9 y 2 27 1 9 故所求椭
9、圆标准方程为 x 2 9 y 2 27 1 或 x 2 9 y 2 3 1 求标准方程的常用方法是待定系数法 基本思路是 先定位 再定量 1 定位即确定椭圆焦点的位置 若不能确定 应分类讨论 2 定量即通过已知条件构建关系式 用解方程 组 的方法求a 2 b2 其中 a 2 b2 c 2 e c a是重要关系式 应牢记 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 长轴长是6 离心率是 2 3 2 在x轴上的一个焦点 与短轴两个端点的连线互相垂直 且焦距为6 解 1 设椭圆的方程为 10 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 或 y 2 a 2 x 2 b 2 1 a b 0 由已知得 2
10、a 6 a 3 e c a 2 3 c 2 b 2 a 2 c2 9 4 5 椭圆的标准方程为 x 2 9 y 2 5 1 或 x 2 5 y 2 9 1 2 设椭圆方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 如图所示 B1FB2为一等腰直角三角形 OF为斜边A1A2的中线 高 且 OF c B1B2 2b c b 3 a 2 b2 c 2 18 故所求椭圆的标准方程为 x 2 18 y 2 9 1 求椭圆的离心率 11 1 已知椭圆的焦距与短轴长相等 求其离心率 2 若一个椭圆长轴长度 短轴的长度和焦距成等差数列 求该椭圆的离心率 思路探究 1 由焦距与短轴长相等 你能得出a b
11、 c的关系吗 可以用离心率 公式求离心率吗 2 由题意得2b a c 如何使用这一关系式求e 自主解答 1 由题意得 b c e 2 c 2 a 2 c 2 b 2 c 2 c 2 2c 2 1 2 e 2 2 2 椭圆的长轴长度 短轴长度与焦距成等差数列 2b a c 4b 2 a c 2 又 a 2 b2 c 2 4 a 2 c 2 a 2 2ac c 2 即 3a 2 2ac 5c2 0 a c 3a 5c 0 a c 0 3a 5c 0 3a 5c e c a 3 5 12 求椭圆离心率的常用方法 1 直接法 求出a c后用公式e c a求解 或求出 a b后 用公式e 1 b 2 a
12、 2求解 2 转化法 将条件转化为关于a b c的关系式 用b 2 a2 c 2 消去b 构造关于 c a的 方程来求解 1 求椭圆 x 2 16 y 2 8 1 的离心率 2 已知椭圆的两个焦点F1 F2 点A为椭圆上一点 且AF1 AF2 0 AF2F1 60 求椭圆的离心率 解 1 e 1 b 2 a 2 1 8 16 1 2 2 2 13 2 设F1F2 2c 由题意知 AF1F2中 A 90 AF2F1 60 AF1 3c AF2 c AF1 AF2 3c c 2a 即 3 1 c 2a e c a 2 3 1 3 1 对应学生用书第25 页 混淆长轴长与长半轴长 短轴长与短半轴长的
13、概念致误 求椭圆 25x 2 y2 25 的长轴长和短轴 14 长 错解 将方程化为标准方程得 x 2 y 2 25 1 a 5 b 1 长轴长是5 短轴长是1 错因分析 错解中将长半轴长 短半轴长与长轴长 短轴长混淆了 从而导致错误 防范措施 根据定义 长轴长为2a 短轴长为2b 往往与长半轴长a 短半轴长b 混淆 解题时要特别注意 正解 将已知方程化成标准方程为x 2 y 2 25 1 a 5 b 1 2a 10 2b 2 故长轴长为10 短轴长为2 1 通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质 反之 由椭圆的性质也可以通过待定系 数法求椭圆的方程 2 椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度 离心率
14、可以从关于a b c的一个方程求得 也可以用公式求得 15 对应学生用书第25 页 1 椭圆 6x 2 y 2 6的长轴的顶点坐标是 A 1 0 1 0 B 6 0 6 0 C 6 0 6 0 D 0 6 0 6 解析 椭圆的标准方程为x 2 y 2 6 1 焦点在y轴上 其长轴的端点坐标为 0 6 答案 D 2 椭圆x 2 4y2 1的离心率为 A 3 2 B 3 4 C 2 2 D 2 3 解析 椭圆方程可化为x 2 y 2 1 4 1 a 2 1 b 2 1 4 c 2 3 4 e 2 c 2 a 2 3 4 e 3 2 答案 A 3 若焦点在x轴上的椭圆 x 2 2 y 2 m 1 的
15、离心率为 1 2 则 m等于 16 A 3 B 3 2 C 8 3 D 2 3 解析 椭圆焦点在x轴上 0 m 2 a 2 c 2 m e c a 2 m 2 1 2 故 2 m 2 1 4 m 3 2 答案 B 4 已知椭圆的中心在坐标原点 离心率为 4 5 一个焦点是 0 4 求此椭圆的标准方程 解 由题意 c 4 e 4 5 a 5 b 2 a 2 c2 9 又椭圆的焦点在y轴上 其标准方程为 y 2 25 x 2 9 1 一 选择题 1 2013 济南高二检测 若椭圆的长轴长为10 焦距为 6 则椭圆的标准方程为 A x 2 100 y 2 36 1 17 B x 2 25 y 2 1
16、6 1 C x 2 100 y 2 64 1 或 y 2 100 x 2 64 1 D x 2 25 y 2 16 1 或 y 2 25 x 2 16 1 解析 由题意 2a 10 2c 6 a 5 b 2 16 且焦点位置不确定 故应选 D 答案 D 2 椭圆 x 2 25 y 2 9 1 与椭圆 x 2 a 2 y 2 9 1 有 A 相同短轴B 相同长轴 C 相同离心率D 以上都不对 解析 由于椭圆 x 2 a 2 y 2 9 1 中 焦点的位置不确定 故无法确定两椭圆的长轴 短 轴 离心率的关系 答案 D 3 曲线 x 2 25 y 2 9 1 与 x 2 9 k y 2 25 k 1 0 k 9 的关系是 A 有相等的焦距 相同的焦点 B 有相等的焦距 不同的焦点 C 有不等的焦距 不同的焦点 D 以上都不对 解析 曲线 x 2 25 y 2 9 1 焦距为 2c 8 而曲线 x 2 9 k y 2 25 k 10 k 9 表示的椭圆的 焦距也是8 但由于焦点所在的坐标轴不同 故选B 答案 B 4 过椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 左焦点F1作x轴的垂线
