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1、1 12 高中导数大题专题复习 一 导数的基本应用 一 研究含参数的函数的单调性 极值和最值 基本思路 定义域 疑似极值点 单调区间 极值 最值 基本方法 一般通法 利用导函数研究法 特殊方法 1 二次函数分析法 2 单调性定义法 第一组 例题 2008 北京理 18 22 已知函数 2 2 1 xb fx x 求导函数 fx 并确定 f x的 单调区间 2 12 第二组 本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识 能力和技巧 例题 2009 北京文 18 22 设函数 3 3 0 fxxaxb a 求函数 f x的单调区间与极值点 例题 2009 天津理 20 22 已知函数 22 23
2、x f xxaxaa exR其中aR II 当 2 3 a时 求函数 f x的单调区间与极值 例题 2008 福建文21 22 已知函数 32 2f xxmxnx的图象过点 1 6 且 函数 6g xfxx的图象关于y 轴对称 求mn 的值及函数 yf x的单调区 间 若 0a 求函数 yf x在区间 1 1 aa内的极值 3 12 例题 2009 安徽文 21 21 已知函数 2 1lnf xxax x a 0 I 讨论 f x的单调性 II 设 a 3 求 fx在区间 1 2 e 上值域 其中 e 2 71828 是自然对数的底数 二 利用函数的单调性 极值 最值 求参数取值范围 基本思路
3、 定义域 单调区间 极值 最值 不等关系式 参数取值范围 基本工具 导数 含参不等式解法 均值定理等 例题 2008 湖北文17 21 已知函数 322 1f xxmxm x m 为常数 且m 0 有极大值 9 求 m 的值 若斜率为5的直线是曲线 yf x的切线 求此直线方程 例题 2009 四川文 20 22 已知函数 32 22f xxbxcx的图象在与x轴交点处的切线 方程是510yx I 求函数 f x的解析式 II 设函数 1 3 g xfxmx 若 g x的极值存在 求实数m的取值范围以及函数 g x 取得极值时对应的自变量x的值 4 12 例题 2008 全国 文21 22 设
4、a R 函数 23 3 xaxxf 若 2x 是函数 xfy的极值点 求a的值 若函数 0 2 g xfxfxx 在 0 x 处取得最大值 求a的取值范围 例题 2009 陕西理 20 22 已知函数 1 ln 1 0 1 x f xaxx x 其中 0a 求 f x的单调区间 若 f x的最小值为1 求 a 的取值范围 5 12 三 导数的几何意义 2008 海南宁夏文21 22 设函数 b f xax x 曲线 yfx在点 2 2 f处的切线 方程为74120 xy 求 yf x的解析式 证明 曲线 yf x上任一点处的切线与直线0 x和直线yx所围成的三角 形面积为定值 并求此定值 二
5、导数应用的变式与转化 一 函数的零点存在与分布问题 问题设置 根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法 通性通法 函数最值控制法 特殊方法 1 二次函数判别式法 2 零点存在性定理 第一组二次函数 1 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识 2 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平 3 研究二次函数零点分布问题时 除了判别式法以外 应补充极值 最值 控制法 为 三次函数零点分布研究做方法上的铺垫 6 12 例题 2009 广东文 21 21 已知二次函数 xgy的导函数的图像与直线2yx平行 且 xgy在x 1 处取得最小值m 1 m 0 设函数 x xg xf
6、 1 若曲线 xfy上的点 P 到点 Q 0 2 的距离的最小值为2 求 m 的值 2 Rkk如何取值时 函数kxxfy 存在零点 并求出零点 例题 2009 重庆文 19 21 已知 2 f xxbxc为偶函数 曲线 yf x过点 2 5 g xx a f x 求曲线 yg x有斜率为 0 的切线 求实数a的取值范围 例题 07 广东文 21 21 已知 a 是实数 函数axaxxf322 2 如果函数xfy在 区间 1 1上有零点 求 a 的取值范围 7 12 例题 2009 浙江文 21 22 已知函数 32 1 2 f xxa xa ax b a bR I 若函数 f x的图象过原点
7、且在原点处的切线斜率是 3 求 a b的值 II 若函数 f x在区间 1 1 上不单调 求 a的取值范围 8 12 第二组三次函数 1 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识 2 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平 3 本组题旨在加深对二次函数 三次函数零点分布问题的认识 进而深化对导数方法 极值 最值的理解 例题 2009 陕西文 20 22 已知函数 3 31 0f xxaxa I 求 f x的单调区间 II 若 f x在 1x 处取得极值 直线y m 与 yf x的图象有三个不同的交点 求 m 的取值范围 9 12 例题 2007 全国II 理22 22 已知函数
8、3 f xxx 1 求曲线 yf x在点 M tf t 处的切线方程 2 设0a 若过点 ab 可作曲线 yf x的三条切线 证明 a bf a 二 不等式恒成立与存在解问题 问题设置 当不等关系在某个区间范围内恒成立或存在解为条件 求参数的取值范围 基本思路 转化为函数最值与参数之间的不等关系问题 基本方法 通性通法 变量分离法 变量转换 最值控制法 特殊方法 二次函数判别式法 二次函数根的分布研究 例题 2009 江西文 17 22 设函数 329 6 2 fxxxxa 1 对于任意实数x fxm恒成立 求m的最大值 例题 2008 安徽文 20 22 设函数 32 3 1 1 32 a
9、fxxxaxa其中为实数 略 若 2 1fxxxa对任意 0 a都成立 求实数x的取值范围 10 12 例题 2008山东文 21 22 设函数 2132 x f xx eaxbx 已知2x和1x为 f x 的极值点 讨论 fx的单调性 设 32 2 3 g xxx 试比较 f x与 g x的大小 2007湖 北 理20 21 已 知 定 义 在 正 实 数 集 上 的 函 数 2 1 2 2 f xxax 2 3lng xaxb 其中0a 设两曲线 yf x yg x有公共点 且在该点处的 切线相同 三 零点存在与分布问题 与 恒成立 存在解问题 之间的关系 1 研究对象的本质相同 因此解题
10、方向一致 函数的极值或最值控制是解决这两类问题 的通性通法 针对特殊类型的函数 如二次函数 又都可以用相应的函数性质进行研 究 2 研究对象的载体不同 因此解题方法不同 前者是函数与其所对应的方程之间关系的 问题 后者是函数与其所对应的不等式之间关系的问题 3 原型问题是根本 转化命题是关键 二者都可以进一步衍生出其他形式的问题 因此 往往需要先将题目所涉及的问题转化为原型问题 然后利用通性通法加以解决 在转 化过程中应注意命题的等价性 11 12 例题 2009 天津文 21 22 设函数0 1 3 1 223 mRxxmxxxf其中 略 求函数的单调区间与极值 已知函数 xf有三个互不相同
11、的零点0 21 x x 且 21 xx 若对任意的 21 xxx 1 fxf恒成立 求m 的取值范围 四 其它形式的问题 例题 2008 陕西文 22 22 设函数 3222 1 21 f xxaxa xg xaxx其中实数 0a 若0a 求函数 f x的单调区间 当函数 yf x与 yg x的图象只有一个公共点且 g x存在最小值时 记 g x 的最小值为 h a 求 h a的值域 若 f x与 g x在区间 2 a a内均为增函数 求a的取值范围 12 12 例题 2008 湖南文 21 21 已知函数 432 19 42 f xxxxcx有三个极值点 I 证明 275c II 若存在实数c 使函数 xf在区间 2a a上单调递减 求a的取值范围 2008 辽宁文22 22 设函数 322 31 f xaxbxa xabR 在 1 xx 2 xx处 取得极值 且 12 2xx 若1a 求b的值 并求 f x的单调区间 若0a 求b的取值范围
