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1、不等式的基本知识 一 不等式与不等关系 1 应用不等式 组 表示不等关系 不等式的主要性质 1 对称性 abba 2 传递性 cacbba 3 加法法则 cbcaba dbcadcba 同向可加 4 乘法法则 bcaccba0 bcaccba0 bdacdcba0 0 同向同正可乘 5 倒数法则 ba abba 11 0 6 乘方法则 1 0nNnbaba nn 且 7 开方法则 1 0nNnbaba nn 且 2 应用不等式的性质比较两个实数的大小 作差法 作差 变形 判断符号 结论 3 应用不等式性质证明不等式 二 解不等式 1 一元二次不等式的解法 一元二次不等式000 22 acbxa
2、xcbxax或的解集 设相应的一元二次方程00 2 acbxax的两根为 2121 xxxx且 acb4 2 则不等式的解的各种情况 如下表 2 简单的一元高次不等式的解法 标根法 其步骤是 1 分解成若干个一次因式的积 并使每一个因式中最高次项的系数为正 2 将每一个一次因 式的根标在数轴上 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线 并注意奇穿偶不穿 3 根据曲线显现的符号变 化规律 写出不等式的解集 如 xxx1120 23 3 分式不等式的解法 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0 再通分并将分子分母分解因式 并使每一个 因式中最高次项的系数为正 最后用标根法求解 解分式不等式时 一般
3、不能去分母 但分母恒为正或恒为负时可去 分母 0 0 0 0 0 f x g x f xfx f x g x g xg xg x 4 不等式的恒成立问题 常应用函数方程思想和 分离变量法 转化为最值问题 若不等式Axf在区间D上恒成立 则等价于在区间D上 min fxA 若不等式Bxf在区间 D上恒成立 则等价于在区间D上 max fxB f x 三 线性规划 1 用二元一次不等式 组 表示平面区域 二元一次不等式Ax By C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0 某一侧所有点组成的平面区域 虚线表示 区域不包括边界直线 2 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线
4、Ax By C 0同一侧的所有点 yx 把它的坐标 yx 代入Ax By C 所得到实数的符号都相同 所以 只需在此直线的某一侧取一特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负即可判断Ax By C 0 表示直线哪一侧的平面区域 特殊地 当C 0 时 常把 原点 作为此特殊点 3 线性规划的有关概念 线性约束条件 在上述问题中 不等式组是一组变量x y的约束条件 这组约束条件都是关于x y 的一次不等 式 故又称线性约束条件 线性目标函数 关于 x y 的一次式z ax by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x y 的解析式 叫线性目标函数 线性规划问题 一般地 求线性目标函数在线性约束条
5、件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 可行解 可行域和最优解 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 4 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 1 寻找线性约束条件 列出线性目标函数 2 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域 3 依据线性目标函数作参照直线ax by 0 在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 四 基本不等式 2 ab ab 1 若 a b R 则 a2 b2 2ab 当且仅当 a b 时取等号 2 如果 a b 是正数 那么 2 号时取当且仅当baab ba 变
6、形 有 a b ab2 ab 2 2 ba 当且仅当a b 时取等号 3 如果 a b R a b P 定值 当且仅当a b 时 a b 有最小值P2 如果 a b R 且 a b S 定值 当且仅当a b 时 ab 有最大值 4 2 S 注 1 当两个正数的积为定值时 可以求它们和的最小值 当两个正数的和为定值时 可以求它们的积的最小值 正所谓 积定和最小 和定积最大 2 求最值的重要条件 一正 二定 三取等 4 常用不等式 有 1 根据目标不等式左右的运算结构选用 2 a b c R 当且仅当时 取等号 3 若 则 糖水的 22 2 2211 abab ab ab 222 abcabbcc
7、aabc0 0abm bbm aam 浓度问题 不等式主要题型讲解 一 不等式与不等关系 题型二 比较大小 作差法 函数单调性 中间量比较 基本不等式 1 设2a 1 2 pa a 24 2 2 aa q 试比较qp 的大小 二 解不等式 题型三 解不等式 解不等式 2 1 2 0 xx 3 2 5 1 23 x xx 2 不等式 2 120axbx的解集为 x 1 x 2 则a b 3 关于x的不等式0bax的解集为 1 则关于x的不等式0 2x bax 的解集为 题型四 恒成立问题 4 关于 x 的不等式a x 2 a x 1 0 恒成立 则a 的取值范围是 5 若不等式 2 2210 x
8、mxm对 01x的所有实数x都成立 求m的取值范围 6 已知0 0 xy且 19 1 xy 求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围 三 基本不等式 2 ab ab 题型五 求最值 7 求下列函数的值域 1 y 3x 2 1 2x 2 2 当时 求 82 yxx的最大值 8 耐克函数型 求 2 710 1 1 xx yx x 的值域 注意 在应用基本不等式求最值时 若遇等号取不到的情况 应结合函数 a fxx x 的单调性 9 用耐克函数单调性 求函数 2 2 5 4 x y x 的值域 1 若实数满足2ba 则 ba 33的最小值是 2 已知0 0 xy 且 19 1 xy 求xy的最小值
9、3 已知 x y 为正实数 且x 2 y 2 2 1 求 x1 y 2 的最大值 4 已知 a b 为正实数 2b ab a 30 求函数y 1 ab 的最小值 题型六 利用基本不等式证明不等式 10 已知cba 为两两不相等的实数 求证 cabcabcba 222 11 已知 a b cR 且1abc 求证 111 1118 abc 四 线性规划 题型八 目标函数求最值 12 满足不等式组 求目标函数的最大值 13 已知 x y 满足约束条件 0 344 0 x xy y 则 22 2xyx 的最小值是 14 已知变量 其中 a 0 仅在点 3 0 处取得最大值 则 a 的取值范围为 15
10、已知实数xy 满足 1 21 y yx xym 如果目标函数zxy的最小值为1 则实数m等于 题型九 实际问题 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35 元 售 价 50 元 凤梨月饼每个成本20 元 售价30 元 现在要将这两种月饼装成一盒 个数不超过10 个 售价不超过 350 元 问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个 可使利润最大 又利润最大为多少 复习 不等式的基本知识参考答案 高中数学必修内容练习 不等式 1 2 pq 3 当0 1x 或 4 3 x 时 1 3log x 2log2 x 当 4 1 3 x 时 1 3log x 2log2 x 当 4 3 x 时 1 3log x 2log2 x
11、0 087 032 yx yx yx yxk3 230 330 10 xy x yxy y 满足约束条件若目标函数zaxy 4 1ba 0lg 0lgba 2 1 Q pbabalglg lglg Qabab ba Rlg 2 1 lg 2 lg R Q P 5 6 1x x或2 x 7 1 1 2 3 U 8 不等式 2 120axbx的解集为 x 1 x 2 则a 6 b 6 9 2 1 10 解 当 a 0 时 不等式的解集为 1x x 2 分 当 a 0 时 a x a 1 x 1 0 当 a 0时 原不等式等价于 x a 1 x 1 0 不等式的解集为 1 1x xx a 或 6 分
12、 当0 a 1时 1 a 1 不等式的解集为 1 1xx a 8分 当 a 1时 a 1 1 不等式的解集为 1 1xx a 10分 当 a 1时 不等式的解为 12 分 11 0 x 4 12 1 2 m 13 16m 14 解 1 y 3x 2 1 2x 2 23x 2 1 2x 2 6 值域为 6 2 当 x 0 时 y x 1 x 2x 1 x 2 当 x 0 时 y x 1 x x 1 x 2x 1 x 2 值域为 2 2 15 1 解 5 540 4 xxQ 11 42543 4554 yxx xx 231 当且仅当 1 54 54 x x 即1x时 上式等号成立 故当1x时 ma
13、x 1y 2 当 即 x 2 时取等号当 x 2 时 82 yxx的最大值为8 16 解析一 当 即时 4 21 59 1 yx x 当且仅当x 1 时取 号 解析二 本题看似无法运用基本不等式 可先换元 令t x 1 化简原式在分离求最值 22 1 7 1 10544 5 tttt yt ttt 当 即 t 时 4 259yt t 当 t 2 即 x 1 时取 号 17 解 令 2 4 2 xt t 则 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4 2 4 xtt t x 因 1 0 1tt t 但 1 t t 解得1t不在区间 2 故等号不成立 考虑单调性 因为 1 yt t 在区间1 单
14、调递增 所以在其子区间2 为单调递增函数 故 5 2 y 所以 所求函数的值域为 5 2 18 条件不等式 1 解 ba 33 和 都是正数 ba 33 632332 baba 当 ba 33 时等号成立 由 2ba 及 ba 33 得 1ba 即当 1ba 时 ba 33 的最小值是6 2 解 19 0 0 1xy xy Q 199 1061016 yx xyxy xyxy 当且仅当 9yx xy 时 上式等号成立 又 19 1 xy 可得 4 12xy 时 min 16xy 3 解 x1 y 2 x2 1 y 2 2 2 x 1 2 y 2 2 下面将 x 1 2 y 2 2 分别看成两个
15、因式 x 1 2 y 2 2 x 2 1 2 y 2 2 2 2 x 2 y 2 2 1 2 2 3 4 即 x1 y 2 2 x 1 2 y 2 2 3 4 2 4 解 法一 a 30 2b b 1 ab 30 2b b 1 b 2 b 2 30b b 1 由 a 0 得 0 b 15 令 t b 1 1 t 16 ab 2t 2 34t 31 t 2 t 16 t 34 t 16 t 2t 16 t 8 ab 18 y 1 18 当且仅当 t 4 即 b 3 a 6 时 等号成立 法二 由已知得 30 ab a 2b a 2b 22 ab 30 ab 22 ab 令 u ab 则 u 2
16、2 2 u 30 0 52 u 32 ab 32 ab 18 y 1 18 19 已知cba 为两两不相等的实数 求证 cabcabcba 222 20 正数 a b c满足 a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8abc 21 已知 a b cR 且1abc 求证 111 1118 abc 证明 Qa b c R 1abc 112 1 abcbc aaaa 同理 12 1 ac bb 12 1 ab cc 上述三个不等 式两边均为正 分别相乘 得 111222 1118 bcacab abcabc gg 当且仅当 1 3 abc 时取等号 22 解 若设污水池长为x 米 则宽为 米 水池外圈周壁长 米 中间隔墙长 米 池底面积 200 米 2 目标函数 23 4 24 25 1 26 27 5 解 设一盒內放入x 个豆沙月饼 y 个凤梨月饼 利润为z 元 则 x y 必须满足 目标函数为z 15x 10y 2 1 3 2 1
