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1、 1 阶段性测试题五 平面向量 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分150 分 考试时间120 分钟 第 卷 选择题共 60 分 一 选择题 本大题共12 个小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 2015 江西乐安一中月考 已知向量a 1 2 向量 b x 2 且 a a b 则实数x 等 于 A 4B 4 C 0D 9 答案 D 解析 a b 1 x 4 a a b a a b 1 2 1 x 4 9 x 0 x 9 2 2015 皖南八校联考 已知点 A 2 1 2 B 1 2 3 2 则与向量 AB 方向相同的单位
2、向量是 A 3 5 4 5 B 4 5 3 5 C 3 5 4 5 D 4 5 3 5 答案 C 解析 AB 3 2 2 AB 3 2 2 22 5 2 AB AB 3 5 4 5 3 文 2014 甘肃省金昌市二中期中 若 a 1 b 2 c a b 且 c a 则向量a 与 b 的 夹角为 A 30 B 60 C 120 D 150 答案 C 解析 c a c a a b a a 2 a b 0 a b 1 即 1 2 cos a b 1 cos a b 1 2 a b 120 理 2015 沈阳市一模 若向量 a b 满足 a b 2 1 a 1 2 则向量 a 与 b的夹角等于 A 4
3、5 B 60 C 120 D 135 答案 D 解析 由 a b 2 1 a 1 2 得 b 1 3 从而 cos a b a b a b 5 5 10 2 2 a b 0 180 a b 135 4 2015 呼和浩特市期中 已知向量a b 的夹角为120 且 a 1 b 2 则向量a b 在 向量 a b 上的投影是 A 3 B 3 2 C 3 3 D 3 答案 A 解析 由已知 向量 a b 2 a 2 b 2 2a b 1 4 2 7 a b 2 a 2 b 2 2a b 1 4 2 3 a b a b a 2 b 2 3 则 cos a b a b a b a b a b a b 3
4、 7 3 21 7 向量 a b 在向量 a b 上的投影是 a b cos a b a b 7 21 7 3 故选 A 5 2015 石光中学阶段测试 已知 m 0 n 0 向量 a m 1 b 1 n 1 且 a b 则 1 m 2 n的 最小值是 A 2 B 2 1 C 22 1 D 3 22 答案 D 解析 a b m 1 n 0 m n 1 m 0 n 0 1 m 2 n 1 m 2 n m n 3 n m 2m n 3 22 等号成立时 n m 2m n m n 1 即 m 2 1 n 2 2 6 2015 浙江慈溪市 余姚市期中联考 在 ABC中 设三边AB BC CA的中点分别
5、为E F D 则 EC FA A BD B 1 2BD C AC D 1 2AC 3 答案 A 解析 EC 1 2 AC BC FA 1 2 CA BA EC FA 1 2 AC BC CA BA 1 2 BC BA BD 7 2015 湖南师大附中月考 若等边 ABC边长为 23 平面内一点M 满足 CM 1 2CB 2 3OA 则MA MB A 1 B 2 C 2 D 23 答案 C 解析 建立如图所示的直角坐标系 根据题设条件可知 A 0 3 B 3 0 C 3 0 设 M a b CM 1 2CB 2 3OA 1 2 2 3 0 2 3 0 3 3 2 又CM OM OC a b 3
6、0 a 3 b a 3 3 b 2 a 0 b 2 M 0 2 所以 MA 0 1 MB 3 2 因此 MA MB 2 故选 C 8 2015 宁夏银川二中统练 若 a b a b 2 a 则向量a b 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 答案 D 9 2014 营口三中期中 已知 a b c 0 且 a 与 c 的夹角为60 b 3 a 则 cos a b 等于 4 A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 3 2 答案 D 解析 设 a b b 3 a b 2 3 a 2 a b 3 a 2cos a c a c cos60 1 2 a a b a c a b a a
7、2 a b a 2 3 a 2cos a b 2 a 2 b 2 2a b a 2 3 a 2 23 a 2cos 4 a 2 23 a 2cos a 2 3 a 2cos 1 2 a 4 a 2 2 3 a 2cos 3cos 1 1 2 4 23cos cos 3 2 故选 D 10 2015 成都市树德中学期中 已知 a x 5 y 26 b x 5 y 26 曲线 a b 1 上一点 M 到 F 7 0 的距离为11 N 是 MF 的中点 O 为坐标原点 则 ON A 11 2 B 21 2 C 1 2 D 21 2 或 1 2 答案 B 解析 由 a b 1 得 x2 25 y2 2
8、4 1 易知 F 7 0 为其焦点 设另一焦点为F1 由双曲线的定义 MF1 MF 10 MF1 1 或 21 显然 MF1 1 不合题意 MF1 21 ON为 MF1F2 的中位线 ON 21 2 11 文 2014 华安 连城 永安 漳平 泉港一中 龙海二中六校联考 在 ABC中 D 是 BC 的中点 AD 3 点 P在 AD 上且满足 AD 3AP 则 DA PB PC A 6 B 6 C 12 D 12 答案 C 解析 AD 3 AD 3AP AD 3 AP 1 PD 2 D 为 BC的中点 DA PB PC DA 2PD 2 DA PD 12 理 2014 浙江省五校联考 已知 A
9、B 是单位圆上的两点 O 为圆心 且 AOB 120 MN 是 圆 O的一条直径 点 C在圆内 且满足 OC OA 1 OB 0 1 则CM CN 的取值范围是 5 A 1 2 1 B 1 1 C 3 4 0 D 1 0 答案 C 解析 以直线 MN 为 x 轴 单位圆的圆心O 为原点建立直角坐标系 则M 1 0 N 1 0 OM ON 1 OC OA 1 OB 0 1 BC BA 0 1 C在线段 AB上 不包括端点 OA OB 1 AOB 120 OC 1 2 1 CM CN CO OM CO ON CO 2 CO OM ON OM ON CO 2 1 3 4 0 12 文 2015 遵义
10、航天中学二模 在 ABC中 已知 D 是 AB 边上一点 若 AD 2DB CD 1 3CA CB 则 的值为 A 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 3 答案 A 解析 在 ABC中 已知 D 是 AB 边上一点 AD 2DB CD 1 3CA CB CD CA AD CA 2 3AB CA 2 3 CB CA 1 3CA 2 3CB 2 3 故选 A 理 2014 湖南长沙实验中学 沙城一中联考 如图 平面内的两个单位向量OA OB 它们的夹 6 角是 60 OC 与OA OB 向量的夹角都为30 且 OC 23 若OC OA OB 则 的值 为 A 2 B 4 C 23 D 43 答
11、案 B 解析 以 OA OB为邻边作 OADB OA 1 OB 1 AOB 60 OD 3 OC 与OA OB 的夹角都为30 OD 与 OC 共线 OC 2OD 2OA 2OB 2 4 第 卷 非选择题共 90 分 二 填空题 本大题共4 个小题 每小题4 分 共 16 分 把正确答案填在题中横线上 13 2015 鹰潭一中 宜春中学 新余四中联考 向量 a b c 在单位正方形网格中的位置如图 所示 则a b c 答案 3 解析 如图建立平面直角坐标系 7 则 a 1 3 b 3 1 1 1 2 2 c 3 2 5 1 2 3 b c 0 1 a b c 1 3 0 1 3 14 文 20
12、14 江西临川十中期中 若非零向量a b c 满足 a b 且 a c 则 c a 2b 答案 0 解析 a b 存在实数 使 b a 又 a c a c 0 c a 2b c a 2 a 1 2 a c 0 理 2015 山西忻州四校联考 已知 m n 是夹角为120 的单位向量 向量a tm 1 t n 若 n a 则实数t 答案 2 3 解析 m n 是夹角为120 的单位向量 向量a tm 1 t n n a n a n tm 1 t n tm n 1 t n2 tcos120 1 t 1 3 2t 0 t 2 3 15 文 2014 湖南省五市十校联考 点 M x y 是不等式组 0
13、 x 3 y 3 x 3y 表示的平面区域 内的 一动点 使z y 2x 的值取得最小的点为A x0 y0 则 OM OA O 为坐标原点 的取值范围是 答案 0 6 解析 作出可行域 为如图四边形OBCD区域 作直线l0 y 2x 0 平移 l0 当平移到经 过点 B 3 1 时 z 取最小值 A 为 B点 即 A 3 1 M 在平面区域 内运动 OA 为定值 OM OA OA OM cos OA OM 8 当 M 与 O 或 C 重合时 OM cos OA OM 取到最小值 或最大值 且 M 与 O 重合时 OM OA 0 M 与 C重合时 OM OA 3 3 3 1 6 0 OM OA
14、6 理 2014 襄阳四中 襄阳五中联考 设点 P x y 为平面上以A 4 0 B 0 4 C 1 2 为顶点的三 角形区域 包括边界 内一动点 O 为原点 且 OP OA OB 则 的取值范围为 答案 3 4 1 解析 直线 AB x y 4 直线 AC 2x 3y 8 0 直线 BC 2x y 4 0 点 P所在的平面区域为 x y 4 2x 3y 8 2x y 4 即 ABC的内部和边界 OP OA OB 4 4 x 4 y 4 1 4 x y 作直线 l0 x y 0 平移 l0 可知当平移到经过点C 1 2 时 x y 取最小值3 与直线 AB重 合时 x y 取最大值4 从而 3
15、 x y 4 3 4 1 16 文 2015 合肥市两校联考 若 是一组基底 向量 x y x y R 则称 x y 为向量 在基底 下的坐标 现已知向量a 在基底 p 1 1 q 2 1 下的坐标为 2 2 则 a 在另一组基底m 1 1 n 1 2 下的坐标为 答案 0 2 解析 a 2p 2q 2 1 1 2 2 1 2 4 9 设 a xm yn y x x 2y 则 y x 2 x 2y 4 x 0 y 2 理 2015 娄底市名校联考 如图 Ox Oy 是平面内相交成120 的两条数轴 e1 e2 分别是与 x 轴 y 轴正方向同向的单位向量 若向量 OP xe1 ye2 则将有序
16、实数对 x y 叫做向量 OP 在 坐标系 xOy 中的坐标 若OP 3 2 则 OP 答案 7 解析 由题意可得e1 e2 cos120 1 2 OP 3e1 2e22 9 e1 2 4 e2 2 12e1 e2 9 4 6 7 三 解答题 本大题共6 个小题 共74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12 分 2014 福建安溪一中 养正中学联考 已知 a 1 a b 1 2 a b a b 1 2 求 1 a 与 b 的夹角 2 a b 与 a b 的夹角的余弦值 解析 1 由条件知 a b a b a 2 b 2 1 2 a 1 b 2 2 设 a 与 b 的夹角为 则 cos a b a b 1 2 1 2 2 2 2 0 4 10 2 a b 2 a2 2a b b2 1 2 1 2 1 2 1 2 a b 2 2 a b 2 a2 2a b b2 1 2 1 2 1 2 5 2 a b 10 2 设 a b a b 的夹角为 则 cos a b a b a b a b 1 2 2 2 10 2 5 5 18 本小题满分12 分 2015 皖南八校
