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1、 1 走向高考 2016 届高三数学一轮基础巩固第 7 章 第 4 节 基本 不等式北师大版 一 选择题 1 若M a 2 4 a a R a 0 则M的取值范围为 A 4 4 B 4 C 4 D 4 4 答案 A 解析 M a 2 4 a a 4 a 当a 0 时 M 4 当a0 y 0 则xy的最小值是 A 15 B 6 C 60 D 1 答案 C 解析 x 0 y 0 5 x 3 y 1 2 15 xy xy 60 当且仅当3x 5y时等号成立 3 把一段长16 米的铁丝截成两段 分别围成正方形 则两个正方形面积之和的最小值 为 A 4 B 8 C 16 D 32 答案 B 解析 设截成
2、的两段铁丝长分别为x 16 x 16 x 0 则围成的两个正方形面积之和为 S x 4 2 16 x 4 2 x 4 16 x 4 2 2 8 当且仅当 x 4 16 x 4 即x 8 时 等号成立 故两个 正方形面积之和的最小值为8 4 文 设a 0 b 0 若3是 3 a 与 3 b 的等比中项 则 1 a 1 b的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 1 4 答案 B 2 解析 本小题主要考查等比中项的概念及均值不等式的应用 根据题意得3 a 3b 3 a b 1 1 a 1 b a b a a b b 2 b a a b 4 当a b 1 2时 成立 故选 B 理 下列函数最小值为4
3、的是 A y x 4 x B y sinx 4 sinx 0 x C y 3 x 4 3 x D y lgx 4logx10 答案 C 解析 A中没有强调x 0 不能直接运用基本不等式 故不对 B 中虽然x 0 sinx 0 但运用基本不等式后 等号成立的条件是sinx 4 sinx即 sin x 2 矛盾 所以等号 取不到 故不对 C中 3 x 0 可直接运用基本不等式 3 x 4 3 x 2 4 4 当且仅当3 x 4 3 x 即 3 x 2 x log 32 时取等号 故正确 D中由于没有给出x的范围 所以lgx不一定大于0 故不对 5 2014 湖南高考 某市生产总值连续两年持续增加
4、第一年的增长率为p 第二年的 增长率为q 则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A p q 2 B p 1q 1 1 2 C pqD p 1q 1 1 答案 D 解 析 设 两 年 的 平 均 增 长 率 为x 则 有 1 x 2 1 p 1 q x 1 p1 q 1 故选 D 6 文 若a 0 b 0 且 ln a b 1 则 1 a 1 b的最小值是 A e B 4 C 4 e D 8 答案 C 解析 由a 0 b 0 ln a b 0 得 a b e a 0 b 0 3 故1 a 1 b a b ab e ab e a b 2 2 e e 2 2 4 e 当且仅当a b e 2时上式取
5、理 若a b 1 P lga lgb Q 1 2 lg a lgb R lg a b 2 则 A R P QB P Q R C Q P RD P RQ 即P Qb 1 lga lgb 0 P lga lgb lga lgb lg a lgb 2 Q Q 1 2 lg a lgb lgab lg a b 2 R P Q0 y 0 lg2 x lg8y lg2 则1 x 1 3y的最小值是 答案 4 解析 由已知易得x 3y 1 所以 1 x 1 3y 1 x 1 3y x 3y 2 3y x x 3y 2 2 3y x x 3y 4 当且仅当 3y x x 3y 即 x 1 2 y 1 6时取得
6、等号 三 解答题 10 1 求函数y x a 2x x 0 a为大于 2x的常数 的最大值 2 已知x 0 y 0 lgx lgy 1 求z 2 x 5 y的最小值 解析 1 x 0 a 2x y x a 2x 1 2 2 x a 2x 1 2 2x a 2x 2 2 a 2 8 当且仅当x a 4时取等号 故函数的最大值为 a 2 8 2 由已知条件lgx lgy 1 可得xy 10 则2 x 5 y 2y 5x 10 210 xy 10 2 2 x 5 y min 2 当且仅当2y 5x 即x 2 y 5 时等号成立 故z最小值为2 一 选择题 1 文 已知x 3y 2 0 则 3 x 2
7、7y 1 的最小值是 A 339 B 1 22 C 6 D 7 答案 D 解析 3 x 27 y 1 3x 33y 1 23 x 3y 1 2 3 1 7 当且仅当 x 3y 1 等号成立 所求最小值为7 5 理 若直线 2ax by 2 0 a 0 b 0 被圆x 2 y 2 2x 4y 1 0 截得的弦长为 4 则1 a 1 b的最小值为 A 1 4 B 1 2 C 2 D 4 答案 D 解析 圆的标准方程为 x 1 2 y 2 2 4 圆的直径为4 而直线被圆截得的弦长为4 则直线应过圆心 2a 2b 2 0 即a b 1 1 a 1 b 1 a 1 b a b 1 1 b a a b
8、2 2 b a a b 4 等号在 a b 1 2时成立 2 2014 重庆高考 若 log4 3a 4b log2ab 则a b的最小值是 A 6 23 B 7 23 C 6 43 D 7 43 答案 D 解析 本题考查对数的运算性质及均值定理 1 的代换 ab 0 3a 4b 0 a 0 b 0 log4 3a 4b 1 2log 2 3a 4b log2ab 1 2log 2 ab 由题意知 3a 4b ab 即 3 b 4 a 1 而a b a b 3 b 4 a 3a b 4 3 4b a 7 3a b 4b a 7 212 7 43 当且仅当 3a b 4b a 即a 23 4 b
9、 3 23时 取 二 填空题 3 设x 1 y 1 且 lg xy 4 则 lgx lgy的最大值为 答案 4 解析 x 1 y 1 lgx 0 lgy 0 6 lgx lgy lg x lgy 2 2 lg 2 xy 4 4 当且仅当lgx lgy 2 即x y 100 时取等 号 当x y 100 时 lgx lgy有最大值4 4 规定记号 表示一种运算 即a b ab a b a b为正实数 若 1 k 3 则k 的值为 此时函数f x k x x 的最小值为 答案 1 3 解析 1 k k 1 k 3 即k k 2 0 k 1 或k 2 舍 k 1 f x 1 x x x x 1 x
10、1 x 1 x 1 2 3 当且仅当x 1 x 即x 1 时等号成立 三 解答题 5 文 设a b均为正实数 求证 1 a 2 1 b 2 ab 2 2 分析 两次利用基本不等式时 注意等号能否成立及成立时的条件 解析 由于a b均为正实数 所以 1 a 2 1 b 2 2 1 a 2 1 b 2 2 ab 当且仅当 1 a 2 1 b 2 即a b时等号成立 又因为 2 ab ab 2 2 ab ab 22 当且仅当 2 ab ab时等号成立 所以 1 a 2 1 b 2 ab 2 ab ab 22 当且仅当 1 a 2 1 b 2 2 ab ab 即a b 4 2时取等号 理 已知a 0
11、b 0 a b 1 求证 1 1 a 1 1 b 9 7 分析 由不等式左边含字母a b右边无字母 直接使用基本不等式既无法约掉字母a b 不等号方向又不对 因a b 1 能否把左边展开 实行 1 的代换 解析 方法一因为a 0 b 0 a b 1 所以 1 1 a 1 a b a 2 b a 同理 1 1 b 2 a b 所以 1 1 a 1 1 b 2 b a 2 a b 5 2 b a a b 5 4 9 所以 1 1 a 1 1 b 9 当且仅当a b 1 2时等号成立 方法二1 1 a 1 1 b 1 1 a 1 b 1 ab 1 a b ab 1 ab 1 2 ab 因为a b为正
12、数 a b 1 所以ab a b 2 2 1 4 于是 1 ab 4 2 ab 8 因此 1 1 a 1 1 b 1 8 9 当且仅当a b 1 2时等号成立 6 围建一个面积为360m 2 的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用旧墙需维修 其他三面围墙要新建 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口 如图所示 已知 旧墙的维修费用为45 元 m 新墙的造价为180 元 m 设利用的旧墙的长度为x x 0 单位 元 8 1 将总费用y表示为x的函数 2 试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求最小总费用 解析 本小题主要考查函数和不等式等基础知识 考查用基本不等式求最值和运用数 学知识解决实际问题的能力 1 如图 设矩形的另一边长为am 则y 45x 180 x 2 180 2a 225x 360a 360 由已知xa 360 得a 360 x 所以y 225x 360 2 x 360 x 0 2 x 0 225x 360 2 x 2225 360 2 10 800 y 225x 360 2 x 360 10 440 当且仅当225x 360 2 x 时 等号成立 即当x 24m时 修建围墙的总费用最小 最小总费用是10 440 元
