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1、 1 阶段性测试题七 不等式 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分150 分 考试时间120 分钟 第 卷 选择题共 60 分 一 选择题 本大题共12 个小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 文 2014 江西白鹭洲中学期中 不等式 2 x x 1 的解集为 A x x 2 或 0 x 1 B x x 1 或 0 x 2 C x 2 x1 D x 1 x2 答案 B 解析 不等式化为 x2 x 2 x 0 即 x 1x 2 x 0 x 1 或 0 x 2 理 2015 湖北教学合作联考 已知集合A x y x2 2x
2、3 B x x 2 x 2 0 则 A B A 1 1 B 1 2 C 1 2 D 2 1 答案 D 解析 依题意 集合 A x x 1 或 x 3 B x 2 x 2 利用集合的运算可得 A B x 2 x 1 故选 D 2 文 2015 呼和浩特市期中 设集合 A x 1 2 2x 4 B x x2 1 则 A B A x x 2 B x 1 2 x 1 C x 1 x 2 D x 1 x 2 答案 C 解析 集合 A x 1 2 2x 4 x 1 x 2 B x x2 1 x 1 x 1 A B x 1 x 2 故选 C 理 2015 洛阳市期中 已知 p 1 4 2x 1 2 q 5
3、2 x 1 x 2 则 p 是 q 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 1 4 2x 1 2得 2 x 1 由 5 2 x 1 x 2 得 2 x 1 2 2 2 1 2 1 2 p 是 q 的充分不必要条件 3 2015 内蒙赤峰市宁城县月考 下列大小关系正确的是 A 0 43 30 4 log43 B log43 0 43 30 4 C 0 43 log43 30 4 D log43 30 4 0 43 答案 C 解析 0 43 0 41log43 log42 0 5 30 4 30 1 0 43 log430 y 0 x
4、 2y x 2y 2 x 1 y 4 4y x x y 4 2 4y x x y 8 等号在 4y x x y 即 x 4 y 2 时成立 故选A 5 2015 湖南师大附中月考 设函数 f x 2 x 0 x2 bx c x 0 若 f 4 f 0 且 f 2 0 则关于x 的不等式f x 1的解集为 A 3 1 B 3 1 C 3 1 D 3 1 0 答案 D 解析 当 x 0 时 f x x2 bx c 且 f 4 f 0 故其对称轴为x b 2 2 b 4 又 f 2 0 4 8 c 0 c 4 因此当x 0 时 f x x2 4x 4 令 f x 1 解得 3 x 1 当 x 0 时
5、 f x 2b 则 A a2 b2 B a b 1 C lg a b 0 D 1 2 aa b 知 a2 b2 a b 1 排除 A 和 B 当 0 a b 1 时排除 C 故选 D 7 2015 石光中学阶段测试 若不等式组 x y 2 0 y 2 x a 表示的平面区域是一个三角形 则实数a 的取值范围是 3 A a 0 B 0 a2 答案 B 解析 x y 2 0 y 2 表示的平面区域为阴影部分 要使此区域与x a 围成一个三角形 应有 0 a 2 8 2015 石家庄五校联合体摸底 若定义在R 上的偶函数y f x 是 0 上的递增函数 则 不等式 f log2x f 1 的解集是
6、A 1 2 2 B 2 2 C R D 2 2 答案 A 解析 f x 为偶函数 不等式f log2x f 1 可化为 f log2x f 1 f x 在 0 上单 调递增 log2x 1 1 log2x 1 1 2 xb 是 a a b b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 若 a b 0 则 a b a a b b 若 a 0 b 显然 a a b b 若 0 a b 则 0 a b 0 a b a a b b 综上 a b a a b b 反之若 a a b b 亦可得出a b 故选 C 10 文 2015 江西乐安一中月考
7、已知 x y 满足不等式组 x y 2 y x 0 x 0 目标函数z ax y 只在 点 1 1 处取最小值 则有 4 A a 1 C a1 答案 A 解析 作出可行域如图阴影部分所示 由 z ax y 得 y ax z 只在点 1 1 处 z 取得最小值 则斜率 a 1 故 a0 b 0 的最大值为3 则 1 a 2 b的最小值为 A 4B 3 C 2D 1 答案 B 解析 作出可行域如图 a 0 b 0 目标函数z ax by 的最大值为3 在点A 1 2 处 z 取到最大值 a 2b 3 1 a 2 b 1 3 1 a 2 b a 2b 1 3 5 2b a 2a b 1 3 5 2
8、2b a 2a b 3 等号 成立时 a b 1 故选 B 理 2015 河南八校联考 x y 满足约束条件 x y 2 0 x 2y 2 0 2x y 2 0 若 z y ax 取得最大值的最优解 不唯一 则实数a 的值为 A 1 2或 1 B 2 或 1 2 C 2 或 1 D 2 或 1 答案 D 解析 作出可行域如图 z y ax 取得最大值的最优解不唯一 6 直线 l y ax z 应与 l1 或 l3 重合 a 1 或 2 12 2015 宝安中学 潮阳一中 桂城中学摸底 已知 O 是坐标原点 点A 1 0 若点 M x y 为平面区域 x y 2 x 1 y 2 上的一个动点 则
9、 OA OM 的取值范围是 A 1 5 B 2 5 C 1 2 D 0 5 答案 A 解析 OA OM 1 0 x y x 1 y 设 z OA OM x 12 y2 则 z 的几何意义为M 到定点 E 1 0 的距离 由约束条件作出平面区域如图 由图象可知当M 位于 D 0 2 时 z 取得最大值z 1 4 5 当 m 位于 C 1 1 时 z 取得 7 最小值 1 1 z 5 即 OA OM 的取值范围是 1 5 第 卷 非选择题共 90 分 二 填空题 本大题共4 个小题 每小题4 分 共 16 分 把正确答案填在题中横线上 13 2014 日照模拟 已知函数f x 与 g x 的图像关
10、于直线x 2 对称 若f x 4x 15 则不等 式 gx x2 1 0 的解集是 答案 1 1 4 1 解析 若 f x 4x 15 则g x f 4 x 4 4 x 15 1 4x 故不等式 gx x2 1 0等价于 1 4x x2 1 0 即 x 1 x 1 4x 1 0 x 1且 x 1 解得 x 1 或 1 4 x0 y 0 若 2y x 8x y m2 2m 恒成立 则实数m 的取值范 围是 答案 4 m 2 解析 因为 x 0 y 0 所以由基本不等式知 2y x 8x y 2 2y x 8x y 8 当且仅当 2y x 8x y 即 y 2x 时等号成立 问题 2y x 8x
11、y m2 2m 恒成立转化为 2y x 8x y min m2 2m 即 8 m2 2m 解此一元二次不等式得 4 m 2 15 文 2014 安徽程集中学期中 已知 x 0 x 3y 0 2x 3y 9 0 则 z x y 的最大值是 答案 2 解析 作出可行域如图 作直线l0 x y 0 平移 l0 到 l1 y x z l1 经过点 A 时 直线 l1 的纵截距最小 此时z 取最大值 由 x 3y 0 2x 3y 9 0 解得 x 3 y 1 zmax 2 8 理 2014 营口三中期中 若 x y 满足约束条件 x y 1 0 x y 3 0 x 3y 3 0 则z 3x y 的最小值
12、为 答案 1 解析 作出可行域如图 作直线l0 y 3x 平移 l0 到经过点A 时 z 最大 从而z 最小 由 x y 1 0 x 3y 3 0 得 A 0 1 zmin 3 0 1 1 16 文 2015 江西南昌市二中月考 设 x y z 均为正数 满足x 2y 3z 0 则 y2 xz的最小值 是 答案 3 解析 由条件可得 2y x 3z 9 x 3z 2 3xz y2 3xz y2 xz 3 所以最小值为 3 理 2015 辽宁省五校协作体期中 设正实数x y z 满足 x2 3xy 4y2 z 0 则当 z xy取得最 小值时 x 2y z 的最大值为 答案 2 解析 x2 3x
13、y 4y2 z 0 z x2 3xy 4y2 又 x y z 是正实数 z xy x y 4y x 3 2 x y 4y x 3 1 当且仅当x 2y 时取 x 2y z x 2y x2 3xy 4y2 4y 2y2 2 y 1 2 2 2 所以 x 2y z 的最大值为 2 三 解答题 本大题共6 个小题 共74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12 分 2015 江西南昌市二中月考 已知 ABC的角 A B C 所对的边分别是a b c 设向量m a b n sinA cosB p 1 1 1 若 m n 求角 B 的大小 2 若 m p 4 边长 c 2 求
14、ABC的面积的最大值 解析 1 m n acosB bsinA 2RsinAcosB 2RsinBsinA cosB sinB tanB 1 B 0 B 4 2 由 m p 4 得 a b 4 由均值不等式有ab a b 2 2 4 当且仅当a b 2 时等号成立 cosC a2 b2 4 2ab a b2 2ab 4 2ab 6 ab ab 6 ab 1 3 2 1 1 2 C 0 3 从而 sinC 0 3 2 当且仅当a b 2 时等号成立 S ABC 1 2absinC 1 2 4 3 2 3 即当 a b 2 时 ABC的面积有最大值3 18 本小题满分12 分 2014 河南省实验
15、中学期中 已知函数f x lg x 1 1 若 0 f 1 2x f x 0 x 1 0 1 x 1 由 0 lg 2 2x lg x 1 lg 2 2x x 1 1 得 1 2 2x x 1 0 x 1 2 2x 10 x 10 2 3 x 1 3 10 由 1 x 1 2 3 x 1 3 得 2 3 x25 时 不等式 ax 25 8 50 1 6 x2 600 1 5x 有解 等价于 x 25 时 a 150 x 1 6x 1 5有解 由于 150 x 1 6x 2 150 x 1 6x 10 当且仅当 150 x x 6 即 x 30 时等号成立 所以 a 10 2 当该商品改革后的销
16、售量a 至少达到10 2 万件时 才可能使改革后的销售收入不低于原收入 与总投入之和 此时该商品的每件定价为30 元 20 本小题满分12 分 2015 河南省信阳六检 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn Sn 2an 2 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn log2an cn 1 bnbn 1 数列 cn 的前 n 项和为 Tn 若对 n N Tn k n 4 恒成立 求实数 k 的取值范围 解析 1 当 n 1 时 a1 2a1 2 a1 2 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2an 2 2an 1 2 an an 1 2 数列 an 为以 2 为公比的等比数列 an 2n 2 bn log2an log22n n cn 1 bnbn 1 1 nn 1 1 n 1 n 1 11 Tn 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n n 1 n n 1 k n 4 k n n 1n 4 n n2 5n 4 1 n 4 n 5 n 4 n 5 2 n 4 n 5 9 当且仅当n 4 n 即 n 2 时等号成立 1 n 4 n 5 1 9 因此 k 1
