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1、现代测试技术习题解答1第二章 信号的描述与分析补充题 2-1-1 求正弦信号 0()sin()xtt的均值 x、均方值 2x和概率密度函数p(x)。解答：(1) 001lim()dsin()d0TTxxtxt，式中 02T正弦信号周期(2) 0 02 2222 00 1cos()li()si() dTT Tx xxtxtxt (3)在一个周期内012xtt02()limxTtPt T20000()d1()li lix xt ttpxxxx(t)正弦信号xx+xt tt现代测试技术习题解答22-8 求余弦信号 0()sinxtt的绝对均值 x和均方根值 rmsx。2-1 求图示 2.36 所示锯
2、齿波信号的傅里叶级数展开。现代测试技术习题解答32-4 周期性三角波信号如图 2.37 所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。现代测试技术习题解答42-1 求图示 2.36 所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。补充题 2-1-2 求周期方波（见图 1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式） ，划出|c n|和 n现代测试技术习题解答5图，并与表 1-1 对比。图 1-4 周期方波信号波形图0 tx(t) T02T20A-A0解答：在一个周期的表达式为 0 ()2() TAtxt积分区间取（-T/2，T/2 ）0 00 0 002 22111()d=d+d =cos- (, ,
3、 3)T Tjnt jnt jntTnxeAeAeAj所以复指数函数形式的傅里叶级数为， 。0 01() (cos)jnt jntnAxtceje=, 12, 3(1os) (=0, 2, 3)0nIRc 2 1,(1cos)0246, nRnI A nAcn ,35,2arctn1,046InRn 没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。现代测试技术习题解答6|cn| n/2-/200 30 5030 502A/2A/3 2A/5幅频图 相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/5 2A/32A/-0-30-50-0-30-502-5 求指数函数 ()(0,)atxtAet的频谱。解： (2)22
4、0220 ()()() ajftjftatjfteAajfXfxtededAajf 22()()kfafImrctnarctnReXfff单边指数衰减信号频谱图f|X(f)| A/a0(f)f0/2-/22-6 求被截断的余弦函数 0cost(见图 1-26)的傅里叶变换。 0cos()tTxt解： 0()2)twftw(t)为矩形脉冲信号 sincWfTf002201co2jtjftte所以 00()()jftjftxw图 1-26 被截断的余弦函数ttT-TT-Tx(t)w(t) 1001-1现代测试技术习题解答7根据频移特性和叠加性得： 00011()()()22sincsinc2()X
5、fWffTTf可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动 f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。fX(f) Tf0-f0被截断的余弦函数频谱2-6 求被截断的余弦函数 cos0t（题图 1-2）的傅立叶变换。解2-7 求指数衰减信号 0()sinatxe的频谱指数衰减信号x(t)解： 0001sin()2jtjtteTttx;0cos)(21 00222 20si )(sin)(in1cos)()(00 cTTfTfdteetfdttxfXfjtfjtfjTTfjfj现代测试技术习题解答8所以 001()2jtjtatxee单
6、边指数衰减信号 1(),)atxt的频谱密度函数为1 201()jttjt ajXfededj根据频移特性和叠加性得： 00101022222 02 22200 0()()()()()()()()()jjXj aaaj 00X()-()指数衰减信号的频谱图2-9 求 h(t)的自相关函数。 (0,)ate解：这是一种能量有限的确定性信号，所以 ()01()() 2at ahRtdtedte2-10 求方波和正弦波（见图 5-24）的互相关函数。ty(t)tx(t)1-11T-1图 5-24 题 5-3图sin(t)00现代测试技术习题解答9解法 1：按方波分段积分直接计算。 0034 4341
7、()()()sin)sin)(1)sin)2i()TTxy TRxtydtxtydtttdt A解法 2：将方波 y(t)展开成三角级数，其基波与 x(t)同频相关，而三次以上谐波与 x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算 y(t)的基波与 x(t)的互相关函数即可。41()cos3cos5tt 所以 00004()in()cos()41sins2()i()2sisnTTxyTTRtydtttdtttdt 解法 3：直接按 Rxy()定义式计算(参看下图) 。0344341()()sin1sin()(1)sin)2iTxy TTxtydttdtdt Aty(t)tx(t)1-11T-1s
8、in(t)00ty(t+) 1-104T34TT344T现代测试技术习题解答10参考上图可以算出图中方波 y(t)的自相关函数4102()3(),1yyTRTn Ry()0方波的自相关函数图TT/22-11 某一系统的输人信号为 x(t)（见图 5-25） ，若输出 y(t)与输入 x(t)相同，输入的自相关函数 Rx()和输入输出的互相关函数 Rx()之间的关系为 Rx()=Rxy(+T)，试说明该系统起什么作用？Rx()0 TRxy()0系 统x(t) y(t)图 5-25 题 5-4 图解：因为 Rx()=Rxy(+T)所以 0 011limlim()TTtdtxtydt所以 x(t+)
9、=y(t+T)令 t1 = t+T，代入上式得x(t1 - T)=y(t1)，即 y(t) = x(t - T)结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了 T 时间。2-12 已知信号的自相关函数为 Acos，请确定该信号的均方值 x2 和均方根值 xrms。解：R x()=Acosx2= Rx(0)=Arms2-13 已知某信号的自相关函数，求均方值 、和均方根值 rmsx。2-14 已知某信号的自相关函数，求信号的均值 x、均方根值 、功率谱。现代测试技术习题解答112-15 已知某信号的自相关函数，求信号的自功率谱。解：采样序列 x(n) 11 1100 0()cos2()cos()24N
10、NNsssn nntTTt t 现代测试技术习题解答122-18 对三个正弦信号 x1(t)=cos2t、x 2(t)=cos6t、x 3(t)=cos10t 进行采样，采样频率fs=4Hz，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出 x1(t)、x 2(t)、x 3(t)的波形及采样点位置，并解释频率混叠现象。采样输出序列为：1，0，-1， 0，1，0，-1 ，0，1203()cos()24Nnnxt采样输出序列为：1，0，-1， 0，1，0，-1 ，0，1205()()nt采样输出序列为：1，0，-1， 0，1，0，-1 ，0，x1(t)x2(t)x3(t)ttt从计算结果和波形图上的采样点
11、可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的三个脉冲序列却是相同的，这三个脉冲序列反映不出三个信号的频率区别，造成了频率混叠。原因就是对 x2(t)、x 3(t)来说，采样频率不满足采样定理。2- 19 假定有一个信号 x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为 x(t)=A1cos(1t+1)+ A2cos(2t+2) 求该信号的自相关函数。解：设 x1(t)=A1cos(1t+1)；x 2(t)= A2cos(2t+2)，则11221211 12)lim(2()lim)li)()()()(TT TTTTxxxxRxdttdtttR 因为 12，所以 120，
12、21)0。又因为 x1(t)和 x2(t)为周期信号，所以1111 11 10211110 022110()cos()cos()cs()s()co()cos()TxTTTRAttdttdtttAt 现代测试技术习题解答13同理可求得 12()cos()xAR所以 122211()cos()x A2-20 试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成分。解：设信号 x(t)的均值为 x，x 1(t)是 x(t)减去均值后的分量，则x(t) = x + x1(t) 1 110 02111100002limlim()()()()li ()()()T TxxxxTTTTTxxxxRtdtttdttt tdttR 12()如果 x1(t)不含周期分量，则 lim，所以此时 2lim()xxR；如果 x(t)含周期分量，则 Rx()中必含有同频率的周期分量；如果 x(t)含幅值为 x0 的简谐周期分量，则 Rx()中必含有同频率的简谐周期分量，且该简谐周期分量的幅值为 x02/2；根据以上分析结论，便可由自相关函数图中确定均值（即常值分量）和周期分量的周期及幅值，参见下面的图。例如：如果 li()xRC，则 x。自相关函数的性质图示Rx()0x2x2+ x2x2- x20Rx() 20x含有简谐周期分量的自相关函数的图
