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1、北京科技大学数理学院卫宏儒weihr 计算方法 分段多项式插值 引言我们已经知道插值有多种方法 Lagrange插值 Newton插值 Hermit插值等多种方式 插值的目的就是数值逼近的一种手段 而数值逼近 为的是得到一个数学问题的精确解或足够精确的解 那么 是否插值多项式的次数越高 越能够达到这个目的呢 现在 我们来讨论一下这个问题 我们已经知道 f x 在n 1个节点xi i 0 1 2 n 上的n次插值多项式Ln x 的余项为 设想当节点数增多时会出现什么情况 由插值余项可知 当f x 充分光滑时 余项随n增大而趋于0的 这说明可用增加节点的方法达到这个目的 那么实际是这样吗 1901
2、年龙格 Runge 给出一个例子 定义在区间 1 1 上 这是一个光滑函数 它的任意阶导数都存在 对它在 1 1 上作等距节点插值时 插值多项式情况 见图 从图中 可见 在靠近 1或1时 余项会随n值增大而增大 如P12 0 96 3 6 但f 0 96 0 25 从图中 还可看见 在0附近插值效果是好的 即余项较小 另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多 这种插值多项式当节点增加时反而不能更好地接近被插之数的现象 称为龙格现象 这个任意阶可导的光滑函数之所以出现这种现象 跟它在复平面上有x 1 5是奇点有关 俄罗斯数学家伯恩斯坦在1916年还给出如下定理 定理 函数f x x 在 1 1
3、 上取n 1个等距节点x0 1 xn 1 构造n次插值多项式Ln x 当n增大时 除了 1 0 1 三点外 在 1 1 中任何点处Ln x 都不收敛于 x 上述现象和定理 告诉我们用高次插值多项式是不妥当的 从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大 从而引起计算失真 因此 实践上作插值时一般只用一次 二次最多用三次插值多项式 那么如何提高插值精度呢 采用分段插值是一种办法 设f x 是定义在 a b 上的函数 在 a b 上节点a x0 x1 x2 xn 1 xn b 的函数值为y0 y1 y2 yn 1 yn 若函数 x 满足条件 1 x 在区间 a b 上连续 2 x
4、在每个子区间 xi xi 1 i 0 1 2 n 1 上是次数为m的多项式 则称 x 是f x 在 a b 上的分段m次插值多项式 m 1称为分段线性插值m 2称为分段抛物线插值 定义 分段线性插值的构造 由定义 x 在每个子区间 xi xi 1 i 0 1 2 n 1 上是一次插值多项式 分段线性插值的余项 定理 设f x 在 a b 上有二阶连续导数f x 且 f x m2 记 h max xi 1 xi 就有估计 f x x R x m2h2 8 x a b 注意到h随分段增多而减少 因此用分段法提高精度是很好的途径 证明 由Lagrange余项公式 当x xi xi 1 时 f x x
5、 R x f x xi x xi 1 2 m2max x xi x xi 1 2 m2h2 8 上式右端与小区间的位置无关 证毕 分段线性插值曲线图 例 设 1 x 1 1 将 1 1 10等份 用分段线性插值近似计算f 0 96 2 将 1 1 n等份 用分段线性插值近似计算 问如何选择步长h可使近似计算误差R 10 4 解 1 插值节点为xi 1 i 5 i 0 1 10 h 1 5因为 0 96 1 0 8 取此区间为线性插值区间 其上的插值函数为所以f 0 96 0 96 0 04253 2 插值节点为xi 1 ih i 0 1 n h b a 2 2 n由分段线性插值的余项估计 f
6、x x R x m2h2 8 分段二次插值即 选取跟节点x最近的三个节点xi 1 xi xi 1进行二次插值 即在区间 xi 1 xi 1 取 这种分段的低次插值叫分段二次插值 在几何上就是用分段抛物线代替y f x 故分段二次插值又和分段抛物插值 实际上 上面介绍的分段低次插值 虽然具有计算简便 收敛性有保证 数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点 但它却不能保证整条曲线的光滑性 从而不能满足某些工程技术上的要求 从六十年代开始 首先由于航空 造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值 spline 方法 既保留了分段低次插值的各种优点 又提高了插值函数的光滑性 在许多领域显得越来越广泛的应用
7、 样条插值 分段插值存在着一个缺点 就是会导致插值函数在子区间的端点 衔接处 不光滑 即导数不连续 对于一些实际问题 不但要求一阶导数连续 而且要求二阶导数连续 为了满足这些要求 人们引入了样条插值的概念 所谓 样条 SPLINE 是工程绘图中的一种工具 它是有弹性的细长木条 绘图时 用细木条连接相近的几个结点 然后再进行拼接 连接全部结点 使之成为一条光滑曲线 且在结点处具有连续的曲率 样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的 它除了要求给出各个结点处的函数值外 只需提供两个边界点处导数信息 便可满足对光滑性的不同要求 一 样条函数的定义设f x 是区间在 a b 上的一个连续可微函数 在
8、区间 a b 上给定一组基点 a x0 x1 x2 xn b设函数s x 满足条件 1 s x 在每个子区间 xi xi 1 i 0 1 2 n 1 上是次数不超过m的多项式 2 s x 在区间 a b 上有m 1阶连续导数 则称s x 是定义在 a b 上的m次样条函数 x0 x1 x2 称为样条结点 其中x1 xn 1称为内结点 x0 xn称为边界结点 当m 3时 便成为最常用的三次样条函数 二 三次样条插值函数设y f x 在点x0 x1 x2 xn的值为y0 y1 y2 yn 若函数S x 满足下列条件S xi f xi yi i 0 1 2 n 1 1 则称S x 为函数f x 的三
9、次样条插值函数 简称三次样条 xxi xi 1S x Mi Mi 1 因此 只要能求出所有的 Mi 就能求出样条插值函数S x 下面考虑Mi的求法 则由连续性S xi S xi i 1 2 n 1 得 iMi 1 2Mi iMi 1 di其中 上面的方程组有n 1个方程 但有n 1个变量Mi 故需两个方程才能求唯一解 为此引入下列边界条件 下面介绍几种常用的边界条件第一型边界条件 已知f x 在两端点的导数f a 和f b 要求S a f a S b f b 第二型边界条件 已知f x 在两端点的二阶导数f a 和f b 要求S a M0 f a S b Mn f b 特别当S a S b 0
10、时 S x 称为自然三次样条 第三型边界条件 已知f x 是以b a为周期的周期函数 要求S x 满足周期条件S a S b S a S b S a S b 三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题 i 可以证明第i型插值问题的解是存在且唯一的 他们对应如下的三对角方程组 2 0M0d0 12 1M1d1 n 12 n 1Mn 1dn 1 n2Mndn 对于第一型插值问题 取 0 1 n 1 对于第二型插值问题 取 0 0 n 0对于第三型插值问题 利用周期性 可导出其中 以上各组条件与方程组 联立 可以解出未知参数M0 M1 Mn 然后代入S x 表达式 即可求得样条函数 上面构
11、造方法中Mi相应于力学中细梁在xi处截面的弯矩 每一个方程中又至多出现相邻的三个Mi 通常称为三弯矩法 总结以上论述 可得求三次样条的步骤为 1 确定边界条件 判定是第几型插值问题 2 根据所确定的条件计算各值 形成方程组 3 解三对角方程组 求得M0 M1 M2 Mn 4 将求得的Mi值代回S x 的表达式中 从而可求得函数y f x 在任一点的近似值S x 四 例题例1已知函数f x 的数值表如下 x246f x 3713f x 1 1试求f x 在 2 6 上的三次样条插值函数 解 这是第一类边界条件的问题 n 2 hi h 由公式 1 1 1 2 d1 3 2 n 0 1 d0 3 d
12、2 12 得方程组2M0 M1 30 5M0 2M1 0 5M2 1 5M1 2M2 12解得M0 0 25 M1 2 5M2 7 25 故所求的三次样条插值函数 1 48 x 4 3 5 24 x 2 3 17 12 x 4 8 3 x 2 x 2 4 S x 5 24 x 6 3 29 48 x 4 3 8 3 x 6 107 12 x 4 x 4 6 插值法应用实例与Matlab Matlab软件提供了多种插值函数 P194按一维插值和高维插值介绍 并给出应用实例 1 interp1 是Matlab中的一维插值函数 其调用格式为yi interp1 x y xi method 一维插值
13、例题7 9 10 11 2 spline 是三次样条插值函数 其调用格式为yi spline x y xi 3 csape 是三次样条插值函数 可以输入边界条件 其调用格式为pp csape x y CONDS VALCONDS 高维插值 1 interp2 是Matlab中的二维插值函数 其调用格式为ZI interp2 X Y Z XI YI method 2 当数据不能构成矩阵时 不能使用interp2 而要使用griddata 它采用三角形插值方法 调用格式为zi griddata x y z xi yi method 例题7 12 13 3 其它高维插值函数interp3 是Matlab提供的三维插值函数 其调用格式为vi interp3 X Y Z V xi yi zi method interpn 是Matlab提供的n维插值函数 其调用格式为vi interp3 X1 X2 X3 V y1 y2 y3 method
