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1、课时素养评价 三十直线与平面垂直(一) (25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA平面ABC，则四面体P-ABC的四个面中，直角三角形的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选A.因为AB是圆O的直径，所以ACB=90，即BCAC，三角形ABC是直角三角形，又因为PA平面ABC，所以PAC，PAB是直角三角形.且BC在这个平面内，所以PABC，因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，所以BC平面PAC，所以PBC是直角三角形.从而PAB，PAC，A
2、BC，PBC中，直角三角形的个数是4.2.如图，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直【解析】选C.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMC=C，所以BD平面AMC，又MA平面AMC，所以MABD.显然MA与BD不共面，因此MA与BD的位置关系是垂直但不相交.3.(2019镇江高一检测)若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为()A.30B.45C.60D.90【解析】选B.正四棱锥S-ABCD的侧棱和底面边长相等，作SO底面ABCD，垂足为O，所
3、以SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角，设AB=a，则SB=a，OB=BD=，所以cosSBO=，所以SBO=45，所以该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45.4.(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有()A.B.C.D.【解析】选BD.在中，AB与CE的夹角为45，所以直线AB与平面CDE不垂直，故不符合；在中，ABEC，ABCD，所以AB平面CDE，故符合；在中，AB与EC的夹角为60，所以直线AB与平面CDE不垂直，故不符合；在中，ABDE，ABCE，所以AB平面CDE，故符合.二、填空题(每小题4分，共8分)5.在三棱锥P-ABC中，点O是点P在底面ABC内的
4、射影，若点P到ABC三边的距离相等，则点O是ABC的_心；若PA，PB，PC与底面ABC所成的角相等，则点O是ABC的_心.【解析】因为点P到ABC三边的距离相等，所以点O到ABC三边的距离相等，所以点O是ABC的内心；PA，PB，PC与底面ABC所成的角相等，则点O到A，B，C的距离相等，所以点O是ABC的外心.答案：内外6.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内，若AC与所成的角为30，则斜边上的中线CM与所成的角为_.【解析】如图，设C在平面内的射影为点O，连接AO，MO，则CAO=30，CMO就是CM与所成的角.设AC=BC=1，则AB=，所以CM=，CO=，所以sinCMO=，所以C
5、MO=45.答案：45【加练固】 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为_.【解析】连接EB，由BB1平面ABCD，知FEB即直线EF与平面ABCD所成的角.在RtFBE中，BF=1，BE=，则tanFEB=.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，且FA=FC.求证AC平面BDEF.【证明】设AC与BD相交于点O，连接FO，因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，且O为AC的中点，又FA=FC，所以ACFO，因为FOBD=O，所以AC平面BDEF.8.(14分)
6、如图，在四面体A-BCD中，BDC=90，AC=BD=2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF=.求证：BD平面ACD.【证明】取CD的中点为G，连接EG，FG.又因为E，F分别为AD，BC的中点，所以FGBD，EGAC.因为AC=BD=2，则EG=FG=1.因为EF=，所以EF2=EG2+FG2，所以EGFG，所以BDEG.因为BDC=90，所以BDCD.又EGCD=G，所以BD平面ACD. (15分钟30分)1.(4分)(2019三明高一检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中BAC=90，以下能使A1CBC1的是()A.AB=ACB.AA1=ACC.BB1=ABD.CC1=BC【解析】选B
7、.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90，即ABAC，又AA1AB，AA1AC=A，所以AB平面AA1C，又A1C平面AA1C，所以ABA1C，若AA1=AC，则矩形AA1C1C为正方形，可得：A1CAC1，又ABAC1=A，所以A1C平面ABC1，又BC1平面ABC1，所以A1CBC1.2.(4分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD，且PA=，则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90【解析】选C.如图，连接AC.因为PA平面ABCD，所以PCA就是PC与平面ABCD所成的角.因为AC=，PA=，所以tanPCA=.所
8、以PCA=60.3.(4分)如图所示，PO平面ABC，BOAC，在图中与AC垂直的直线有_条.【解析】因为PO平面ABC，AC平面ABC，所以POAC.又ACBO，POBO=O，所以AC平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直.答案：44.(4分)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，给出下列结论：ACSB；AB平面SCD；SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；ACSO.正确结论的序号是_.【解析】连接SO，如图所示，因为四棱锥S-ABCD的底面为正方形，所以ACBD.因为SD底面ABCD，所以SD
9、AC，因为SDBD=D，所以AC平面SBD，因为SB平面SBD，所以ACSB，则正确；因为ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，所以AB平面SCD，则正确；因为SD底面ABCD，所以SAD和SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，因为AD=CD，SD=SD，所以SAD=SCD，则正确；因为AC平面SBD，SO平面SBD，所以ACSO，则正确.答案：5.(14分)(2019衢州高一检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面是棱长为1的菱形，ADC=60，PA=，M是PB的中点.(1)求证：PD平面ACM.(2)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值.【解
10、析】(1)连接BD，交AC于点O，连接OM，由底面ABCD是菱形，知O是BD的中点，又M是BP的中点，所以OMDP，又OM平面ACM，所以PD平面ACM.(2)取AB中点E，连接ME，CE，由题可知ACB是等边三角形，所以CEAB，又PA平面ABCD，PA平面PAB，所以平面ABCD平面PAB.又平面ABCD平面PAB=AB，所以CE平面PAB，所以直线CM与平面PAB所成角为CME，因为ME=PA=，CE=，又MC=，所以sinCME=.【加练固】 (2019静安高一检测)如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BCAD，ABAD，BC=BA=AD=m，VA平面ABCD.(1)求证：CD平面VA
11、C.(2)若VA=m，求CV与平面VAD所成角的大小.【解析】(1)因为AB=BC，ABC=90，所以CAB=ACB=45，取AD中点G，连接CG，因为BCAD，所以四边形ABCG为正方形.所以CG=GD，CGD=90，所以DCG=45，所以DCA=90，所以CDCA，又VA平面ABCD，所以CDVA，因为CAVA=A，所以CD平面VAC.(2)连接VG，由CG平面VAD，所以CVG是CV与平面VAD所成的角，VC=2m；CG=m，所以CVG=30，所以CV与平面VAD所成角为30.1.如图所示，ADB和ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且BAC=60，下列说法中错误的是()A.AD平
12、面BDCB.BD平面ADCC.DC平面ABDD.BC平面ABD【解析】选D.不妨设AD=BD=CD=1，则由题意可得AB=AC=，因为BAC=60，所以BC=AB=AC=，可得BDC=90，ADBD，ADCD，BDCD=D，可得：AD平面BDC，A正确；BDAD，BDCD，ADCD=D，可得：BD平面ADC，B正确；CDAD，CDBD，ADBD=D，可得：CD平面ABD，C正确.2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，ACB=90，AA1=，D是A1B1的中点.(1)求证C1D平面AA1B1B.(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1平面C1DF？并证明你的结论.【解
13、析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以A1C1=B1C1=1，且A1C1B1=90.又D是A1B1的中点，所以C1DA1B1.因为AA1平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，所以AA1C1D，又A1B1AA1=A1，所以C1D平面AA1B1B.(2)作DEAB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1平面C1DF，点F为所求.因为C1D平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，所以C1DAB1.又AB1DF，DFC1D=D，所以AB1平面C1DF.因为AA1=A1B1=，所以四边形AA1B1B为正方形.又D为A1B1的中点，DFAB1，所以F为BB1的中点，所以当点F为BB1的中点时，AB1平面C1DF.
