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1、课时素养评价 二十三圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 (25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A.12B.1C.1D.2【解析】选C.设圆锥的高为a，则底面半径为，则S底=，S侧=a2，所以=.【加练固】 圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A.4SB.2SC.SD.S【解析】选A.底面半径是，所以正方形的边长是2=2，故圆柱的侧面积是(2)2=4S.2.圆台上、下底面面积分别是、4，侧面积是6，这个圆台的体积是()A.B.2C.D.【解析】选D.S1=，S2=4，所以r=1，R=2，S
2、侧=6=(r+R)l，所以l=2，所以h=.所以V=(1+4+2)=.3.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.B.C.4D.32【解析】选C.设正方体棱长为a，由题意可知，6a2=24，所以a=2.设正方体外接球的半径为R，则a=2R，所以R=，所以V球=R3=4.4.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出
3、堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【解析】选B.由l=2r=8得圆锥底面的半径r=，所以米堆的体积V=r2h=5=(立方尺)，所以堆放的米有1.6222(斛).二、填空题(每小题4分，共8分)5.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是_.【解析】设圆锥的底面半径为r，则2r=4，所以r=2，所以圆锥的表面积为S=r2+42=4+16=12.答案：126.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是_.【解析】设大球的半径为R，则有R3=213，R3=2，所以R=.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)如图所示，ABC中，AC
4、=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积.【解析】过C点作CDAB于点D.如图所示，ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB=5，底面半径DC=，故S表=DC(BC+AC)=.8.(14分)一个高为16的圆锥内接于一个体积为972的球，在圆锥里又有一个内切球.求：(1)圆锥的侧面积.(2)圆锥内切球的体积.【解析】(1)如图所示，作出轴截面，则等腰SAB内接于O，而O1内切于SAB.设O的半径为R，则有R3=972，所以R3=729，R=9.所以SE=2R=18.因为SD=16，所以ED=2
5、.连接AE，又因为SE是直径，所以SAAE，SA2=SDSE=1618=288，所以SA=12.因为ABSD，所以AD2=SDDE=162=32，所以AD=4.所以S圆锥侧=412=96.(2)设内切球O1的半径为r，因为SAB的周长为2(12+4)=32，所以r32=816.所以r=4.所以内切球O1的体积V球=r3=. (15分钟30分)1.(4分)等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是()A.S球S圆柱S正方体B.S正方体S球S圆柱C.S圆柱S球S正方体D.S球S正方体S圆柱【解析】选A.设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则r22r
6、=R3=a3，=，=2，S圆柱=6r2，S球=4R2，S正方体=6a2，=1.2.(4分)圆台的上、下底面半径和高的比为144，若母线长为10，则圆台的表面积为()A.81B.100C.168D.169【解析】选C.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l=5r=10，所以r=2，R=8.故S侧=(R+r)l=(8+2)10=100，S表=S侧+r2+R2=100+4+64=168.3.(4分)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是_cm，表面积是_cm2.【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一
7、条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD=R-1，则(R-1)2+32=R2，解得R=5 cm，所以该球表面积为S=4R2=452=100(cm2).答案：51004.(4分)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为_.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为225=20，故所求几何体的体积为10.答案：10【加练固】 如图所示的几何体是一棱长为4的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2、深为1的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是_.【解
8、析】正方体的表面积为446=96，圆柱的侧面积为21=2，则挖洞后几何体的表面积约为96+2.答案：96+25.(14分)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.【解析】如图所示，作出轴截面，因为ABC是正三角形，所以CD=AC=2，所以AC=4，AD=4=2，因为RtAOERtACD，所以=.设OE=R，则AO=2-R，所以=，所以R=.所以V球=R3=.所以球的体积等于.1.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r、R，则球的表面积为()A.4(r+R)2B.4r2R2C.4RrD.(R+r)2【解析】选C.如图，设球的半径为r1，则在RtCDE中，DE=2r1，CE=R-r，DC=R+r.由勾股定理得4=(R+r)2-(R-r)2，解得r1=.故球的表面积为S球=4=4Rr.2.一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积.(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.【解析】(1)圆锥的母线长为=2(cm)，所以圆锥的侧面积S1=22=4(cm2).(2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知=，所以r=，所以圆柱的侧面积S2=2rx=(-x2+6x)=-(x-3)2-9，所以当x=3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6 cm2.
