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1、广西柳州市高级中学2020届高三数学上学期第二次统测试题 理（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）一、选择题:（本大题共12小题.每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则（ ）A.B. C. D.2.已知为实数，若复数为纯虚数，则（ ）A. B. C. D.3.的值等于( )A. B. C. D.4.若，则的大小关系为（ ）A B C. D5.在半径为2的圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）A. B. C. D. 6. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五
2、尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（ ）A. 5 B. 4C. 3 D. 97.的展开式中，含吧的项的系数是（ ）A. B. C. D.8.函数的大致图像是（ ）9.等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和（ ）A. B. C. D. 10.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为（ ）A B C D11. 已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面互相垂直，,则球的体积为（ ）AB C D12.已知函数，若函数有个零点，则实
3、数的取值范围是（ ）A. B C. D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分.）13已知满足不等式组则的最小值为_14曲线在处的切线的倾斜角为_15各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，则_16已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为_三、解答题:（解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知，设（1）求的解析式并求出它的周期；（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积18 （本小题满分12分）如图，是半圆的直径，是半圆上除外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，/,.（1） 证明：平面；（2） 当点为半圆的中点时，求二面角的正弦值.19.（本小题满分12分）随
4、着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率（%）级数全月应纳税所得额税率（%）1不超过1500元部分31不超过3000元部分32超过1500元至4500元的部分102超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分20.（1)假如小明某月的工资、
5、薪金等税前收入为7500元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？（2）某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入（元）人数403010875先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，求的分布列与数学期望.20（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.（1）求该椭圆的方程；（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.21.（本
6、小题满分12分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.选做题：考生在第22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题号，（本题满分10分）22.已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于,两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.23.已知，函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的最小值为，求的值，并求的最小值理科数学参考答案一、选择题（本大题共1
7、2小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案CDBBDBCCBADA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）13141516215016三、解答题17.解析：（1）由，则，即函数的周期，故，周期为 （6分）（2）因为，所以， 所以，又， 所以， 所以，又，由余弦定理得： ，所以， 所以，即. （12分） 18.证明：（1）因为是半圆的直径， 所以因为平面，所以，又，所以平面，/,，四边形为平行四边形/ 平面 （6分）（2） 依题意，,如图所示，建立空间直角坐标系,则,，,所以,设平面的法向量为 则 得 设平面的
8、法向量为 则 得所以所以二面角的正弦值为. （12分）19.解析：（1）按调整起征点前应纳税为：；按调整起征点后应纳税为：； 元所以小明实际收入增加了元. （4分）（2） 由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人的取值可能值; ; ;所以的分布列为: （12分）20.解析：（1）由，又由于，一个长轴顶点在直线上，可得：，.故此椭圆的方程为. （4分）（2）设，当直线的斜率存在时，设其方程为，联立椭圆的方程得：，由，可得，则，又点到直线的距离，由于，可得：，故，当直线的斜率不存在时，可算得：，故的面积为定值1. （12分）21.解析：（1）由题意，函数的定义域为, 当时，恒成立，故的递增区间
9、为；当时，在区间，时，时，所以的递增区间为，递减区间为；当时，在区间，时，时，所以的递增区间为，递减区间为； （5分） （2）当时，由,只需证明. 令 ，.设，则. 当时，单调递减;当时，单调递增,当时，取得唯一的极小值，也是最小值. 的最小值是 成立.故成立. （12分）22.解析：（1）消由 直线的普通方程为由， 曲线的直角坐标方程为 （5分）（2）由于曲线的直角坐标方程为，则圆心（3,0），所以圆心到直线的距离 ，根据垂径定理可得， 即，可求得 实数. （10分）23.解析：（1）当时,不等式即，化为当时，化为：，解得；当时，化为：，化为：，解得；当时，化为：，解得综上可得：不等式的解集为：； （5分）（2）由绝对值三角不等式得，由柯西不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为 （10分）
