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1、 .勾股定理全章复习与巩固学习目标1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.知识网络要点梳理要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段要点二、勾股定理的逆定理1. 原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.
2、如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证与是否具有相等关系，若，则ABC是以C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长
3、，此三角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.典型例题类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长【变式】在ABC中，AB15，AC13，高AD12求ABC的周长2、如图所示，ABC中，ACB90，ACCB，M为A
4、B上一点求证：【变式】已知，ABC中，ABAC，D为BC上任一点，求证：.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在ABC中，ABAC20，BC32，D是BC上的一点，且ADAC，求BD的长【变式】如图所示，已知ABC中，B22.5，AB的垂直平分线交BC于D，BD，AEBC于E，求AE的长.4、如图所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明(1)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)(2)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的
5、关系并加以证明5、如果ABC的三边分别为，且满足，判断ABC的形状.类型三、勾股定理的实际应用6、如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少? 【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为_.(取3) 巩固练习一.选择题1如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3处折断，树顶端落在离树底部4处，则树折断之前高( ) A.5 B.7 C.8 D.102如图，从台阶的下
6、端点B到上端点A的直线距离为( ) A. B.C. D.3. 下列命题中是假命题的是（ ）A.三个内角的度数之比为：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A6 B12 C24 D305下列三角形中，是直角三角形的是( ) A.三角形的三边满足关系 B.三角形的三边比为123C.三角形的一边等于另一边的一半 D.三角形的三边为9，40，416某市在旧城改造中，计划在市内一
7、块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要( ) A.450元 B.225元C.150元 D.300元7. 如图所示，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对8. 已知，如图长方形ABCD中，AB3，AD9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（）A.3 B.4 C.6 D.12二.填空题9若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为_10若等边三角形的边长为2，则它的面积为_11如图，B，C是河岸边两点，A是对岸
8、岸边一点，测得ABC45，ACB45，BC60米，则点A到岸边BC的距离是_米 12. 下列命题中，其逆命题成立的是_（只填写序号）同旁内角互补，两直线平行；如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形13. 长为4 的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_ 14在直角三角形中，一条直角边为11，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为_ 15. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10，则其中最大的
9、正方形的边长为_ 16如图，ABC中，ACB90，ACBC1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_ 三.解答题17. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC1千米，BD3 千米，CD3千米现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W19如图，ABC中，A90，AC20，AB10，延长AB到D，使CDDBACAB，求BD的长20. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，3将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N求BN的长. 页脚
