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1、 .1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E.2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。4.若要证明一组向量a1，a2，as线性无关，先考虑用定义再说。5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。7.若已知A的特征向量0，则先用定义A0=00处理一下再说。8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。20
2、10考研基础班线性代数主讲：尤承业 第一讲 基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组 矩阵 向量 行列式等 一线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数, , 构成,它满足:当每个方程中的未知数都用替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个: (1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组: 的线性方程组.0,0,0 总是齐
3、次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).二.矩阵和向量1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m行n列的表格称为mn矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i行j列的元素称为(i,j)位元素.是一个23矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵和 为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息. 2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为 ,常数列为,则方程组为由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分
4、量.零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.2. 矩阵和向量的关系书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.问题:(3,-2,1)和是不是一样? 作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是13矩阵,右边是31矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量. 一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.3. n阶矩阵与几个特殊矩阵nn的矩阵叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵:对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.数量矩阵:
5、对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵:满足矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i) 位的元素总是相等的n阶矩阵.问题:下列矩阵都是什么矩阵? 对角矩阵: 、上三角矩阵: 、下三角矩阵: 、对称矩阵: 、三. 线性运算和转置1.线性运算是矩阵和向量所共有的. 加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减). 两个同维数的向量可以相
6、加(减),规则为对应分量相加(减). 数乘: 一个数c与一个mn的矩阵A可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.一个数c与一个n维向量可以相乘,乘积仍为n维向量,记作.法则为的每个元素乘c. 向量组的线性组合:设，是一组n维向量, , , 是一组数,则称为，的(以, , 为系数的线性组合. 例:求矩阵的列向量组的系数为1,1,1的线性组合. 解: 2.转置把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作. 四. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换: 交换两行的位置. 用一个非0的常数乘某一行的各元
7、素. 把某一行的倍数加到另一行上. AB.2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: 如果它有零行, 非零行,则都零行在下,非零行在上. 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.问题:对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵? 一个n阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.问题:如果A是阶梯形矩阵.(1) A去掉一行还是阶梯形矩阵吗?(2) A去掉一列还是阶梯形矩阵吗?3. 简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:台角位置的元素为1.并且其正上方的元素都为0.4.用初等
8、行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵请注意: 从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变. 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种: 交换两个方程的上下位置. 用一个非0的常数乘某个方程. 把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨
9、论解的情况和求解.例: 矩阵消元法步骤如下: (1)写出方程组的增广矩阵（），用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(). (2)用()判别解的情况:如果最下面的非零行为(),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；rn时无穷多解.(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉()的零行,得到一个n(n+1)矩阵(),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(),则h就是解. 就是解.,h就是解.解为(1,0,2,-2).对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B. (2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；rn时有非零解(求解
10、方法在第五章讲).推论:当方程的个数mn时,有非零解.第二讲 行列式1.形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: (简记为)意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作.行列式的的核心问题是值的计算.一. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:一般地,一个n阶行列式= 这里 1是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-1.
11、) 2. 每一项,都是n个元素的乘积,它们取自不同行,不同列.即列标 构成1,2, ,n的一个全排列(称为一个n元排列),共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项. 表示对所有n元排列求和.3. 规定为全排列的逆序数.称12n为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,一对大小的数构成一个逆序.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: , (436512)=3+2+3+2+0+0=10.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.
12、例如下三角行列式对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积 例 求的和的系数.解析：的系数是1；的系数是-10二. 化零降阶法1.余子式和代数余子式 元素的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作.的代数余子式为.2.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和. n=4, 例如 求3阶行列式 =(-3)A11+4A12+6A13=(-3)M11-4M12+6m3 =(-3)(-5)-4(-18)+6(-10)=27.例 解析： 原式=1 A11+t A1n =1+ =1+ 例 求行列式 的第四行各元素的余子式的和.解
13、析：所求为原式=将原行列式换为即他的值就是原题的余子式之和答案为-28（对第三行展开 )3.命题 第三类初等变换不改变行列式的值. 08题 . 证明|A|=(n+1)an.分析：证明：初等变换4. 化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.三.其它性质行列式还有以下性质: 3把行列式转置值不变,即 .4作第一类初等变换, 行列式的值变号. 5作第二类初等变换, 行列式的值乘c.问题： ；6对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如问题：例如：例 设4阶矩阵解：7.如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.8.某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. 例 已知行列式 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z. 解析：思路：利用性质8拉普拉斯公式的一个特殊情形：如果A与B都是方阵(不必同阶),则 范德蒙行列式：形如的行列式(或其转置).它由所决定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于两两不同.
