不等式的积分法微分法

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1、 1.不等式证明的积分法不等式证明的积分法是利用积分的定义，性质，以及用一些特殊的积分不等式来证明不等式。1.1 定积的概念例1 设在连续，证明证明 将区间进行等分，取因为 两边取对数得两边在时取极限得1.2 积分中值定理法积分中值定理 如果函数在上连续，则在内至少存在一点，使得例2 试证当时，.证明 因为令 由积分中值定理有 即 因为 所以 .1.3 原函数法例3 设在上连续，取正值且单调减少，证明 因为单调减少证明 做辅助函数，令则 故 则，由单调增加，有则 成立例4 证明时，证明 已知不等式（只有当时，等号成立）在次是两端同时取上的积分，得再取上的积分得第三次取上的积分，可得即继续在上积

2、分两次，可得 .总结：当命题中出现条件在上连续时可构造积分上限函数，将数值不等式（定积分不等式） 转化为积分上限（函数不等式），然后利用单调性或定积分的性质解题2。1.4 定积分保号性法性质 设在区间上都是可积函数，假设在区间满足则有例5 求证：证明 因为又因为，所以由上述性质有即.总结：在使用上述性质来证明不等式的时候，我们可以将不等式两端的式子表示成同一积分区间下的两个函数的定积分来计算，此时我们只要比较这两个函数在这一区间内的大小，利用定积分的性质来证明即可3。1.5 二重积分性质法例6 设均为上的单调不减连续函数证明证明 由于同为单调不减函数令 总有 由二重积分的保序性有 即 于是 2

3、.不等式证明的微分法不等式证明的微分法是利用微分学的一些知识来证明不等式，主要有以下几个方面：一是应用中值定理或泰勒公式; 二是考察函数的单调性或极值; 三是考察函数的凹凸性。2.1 微分定义法从定义出发证明不等式是比较原始的做法，不容易被人想到，但在证明某些不等式时却行之有效。例7 设，且，试证分析 观察命题的条件与结论,从导数的定义出发,结合重要极限的结论,解题方便简捷。证明 因为则 ，由导数定义 所以 即 .总结：用导数定义证明不等式，此方法适用范围不广，解题时应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系，有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的6。2.

4、2 函数单调性法函数的单调性在微积分中主要用函数的导数来判定。定理 设函数在区间上可导如果对任意的,恒有（或），则在内单调递增（或单调递减）。例8 求证，当时有证明 设 因为 无法判定的符号,又因为 而 时 所以 （只当时等号成立）所以 在单调增加即 ，从而 在单调增加所以 故 .例9 求证 证明 设 则 由于 所以 是增函数，又因为 所以 .例10 设 ，证明 证明 要证原不等式成立只需证明令 ，则 所以 单调递增又因为 ，于是 因此 单调递增，又因为所以当 时有 从而有 故 .总结：利用函数的单调性证明不等式时，首先要根据不等式构造函数，在构造辅助函数时，要求不等式两边的函数必须求导；所构

5、造的辅助函数要在某闭区间上连续，在开区间内可导，且在某闭区间端点处函数值为0，然后通过开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性。有时需要使用该符号的高阶导数来确定的符号4。2.3 微分中值定理法拉格朗日中值定理 如果函数满足条件：（1）在闭区间上连续，（2）在开区间内可导，则至少存在一点，使得柯西中值定理 如果函数，满足条件：（1）在闭区间上连续，（2）在开区间内可导，（3）在内每一点处，则至少存在一点，使得.例11 若 ，试证证明 设 因为 在上满足拉格朗日定理所以 又因为 所以从而即 例12 设 ，证明不等式 证明 先证左边的不等式，设 根据拉格朗日中值定理得5 因为 ,又所以再证右边的不等

6、式，设则 ，且于是 所以单调递增故当时 特别地，令 则有 即所以原不等式成立.例13 设都是可导函数，且证明：当时，证明 因为 故函数单调增加所以当时，即又在上满足柯西中值定理条件故由柯西中值定理知从而故原不等式成立6.例14 设，证明 证明 设函数则在上由柯西中值定理有设，考察当时，从而，说明在时单调递减，所以即，故总结:利用微分中值定理证明不等式时, 要抓住定理的核心, 在满足定理的两个条件的情况下, 主要是利用“ 存在一点”即 来确定不等式关系, 关键是根据对照要证的不等式来确定函数和区间,根据要证明结论的需要,对进行适当的放缩7。2.4 函数极值与最值法 定理 设在的某邻域内可导，且，

7、则若，则在处取极大值；若，则在处取极小值。例15 当，证明.证明 设 令 得，故函数在处取得极大值即故不等式成立. 例16 证明：时，证明 设，则令 得 令，则 故当 有 例17 证明不等式 证明 设 则 当时 当时 当时 因此函数在处取得极大值也取得最大值故当时 即 .总结：利用函数的最值证明不等式，也是一种行之有效的方法。若函数在某闭区间上连续，根据最值定理，函数必在该区间上取得最大值和最小值。当题设满足下列条件时，宜用函数的极值.最值证明不等式（1）所设辅助函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数；（2）证明的只能是复合不等式，不能是纯粹不等式。2.5 函数凸

8、性法根据曲线凹凸性的定义，设在区间内二阶可导，对内的任意不同的两点若，则在内上凹，有詹森不等式 设为上的凸函数，则对任意，则有成立。若为严格凸函数，不全相等，则上式严格不等式成立8。例18 若，且，试证证明 令 则 因为下凸函数，对任意的有 即.总结:若函数的图形在区间是凹(凸) 的,则对内任意两点和, 都有 ,我们可用函数图形的凹凸性来证明一些不等式,特别是一类多元不等式,通常是根据要证明的不等式,构造辅助函数,利用该函数在某区间上的二阶导数的正负来判定在该区间上的凹凸性,进而证明不等式9。2.6 Taylor公式法泰勒定理 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的

9、，至少存在一点，使得 例19 若在内，则对任意几个点，有不等式成立.证明 将在展开有介于与之间，因为 所以 （1）对（1）式中分别取 得 将上面个不等式两边分别相加可以得到下面的式子 所以 即 例20 设有二阶导函数，且满足，求证. 证明 由泰勒公式可知所以从而有故时 .总结：泰勒公式是用一个多项式来逼近函数，而此多项式具有形式简单，易于计算等优点。所以把泰勒公式应用到不等式证明中，使问题简单化。用泰勒公式证明命题时, 关键要注意一点, 即究竟要展开到第几阶, 而对于命题则没有统一的规律, 我们要根据题中的有关信息加以适当取舍10。结论高等数学中证明不等式的方法很多，利用微积分证明有时候可以将复杂繁冗的问题变的简单明了.本文针对微积分学中证明不等式的几种方法，进行了初步的思考与探究，并对运用某种方法给出了一定的结论.其实，对于一个不等式来说，可以用多种方法予以证明，对于一个学习数学的人来说，能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法，而利用微积分往