《2021届课标版高考理科数学一轮复习教师用书：选修4 - 5不等式选讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届课标版高考理科数学一轮复习教师用书：选修4 - 5不等式选讲（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、选修4 - 5不等式选讲1.改编题若a,b,cR,且满足|a - c|c;b+ca;a - cb;|a|+|b|c|.其中错误的个数为()A.1B.2C.3D.42.若不等式|3x - b|4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为. 3.2018江苏高考改编若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,则x2+y2+z2的最小值为.4.2019浙江,16,4分已知aR,函数f (x)=ax3 - x.若存在tR,使得|f (t+2) - f (t)|23,则实数a的最大值是.5.2017浙江,17,4分已知aR,函数f (x)=|x+4x - a|+a在区间1,4上的最大值是5,则a的
2、取值范围是.6.2020石家庄摸底考试(1)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,证明1a+1b+1c9;(2)已知a,b,c均为正实数,且abc=1,证明a+b+c1a+1b+1c.考法1绝对值不等式的解法12019全国卷,23,10分理已知f (x)=|x - a|x+|x - 2|(x - a).(1)当a=1时,求不等式f (x)0的解集;(2)若x( - ,1)时,f (x)0,求a的取值范围.(1)根据a=1,将原不等式化为|x - 1|x+|x - 2|(x - 1)0,分别讨论x1,1x2,x2三种情况,即可求出结果.(2)分别讨论a1和a1两种情况,即可得出结果.(1)
3、当a=1时,原不等式可化为|x - 1|x+|x - 2|(x - 1)0.当x1时,原不等式可化为(1 - x)x+(2 - x)(x - 1)0,显然成立,此时解集为( - ,1);当1x2时,原不等式可化为(x - 1)x+(2 - x)(x - 1)0,解得x1,此时解集为;当x2时,原不等式可化为(x - 1)x+(x - 2)(x - 1)0,即(x - 1)20,显然不成立,此时解集为.综上,原不等式的解集为( - ,1).(2)当a1时,因为x( - ,1),所以f (x)0可化为(a - x)x+(2 - x)(x - a)0,显然恒成立,所以a1满足题意.当a1时,f (x
4、)=2(x-a),ax1,2(x-a)(1-x),xa,因为当ax1时,f (x)0显然不成立,所以ax - f (x)恒成立时a的取值范围.(1)把a的值代入已知函数式f (x)去掉绝对值符号求得结论(2)转化已知不等式根据不等式恒成立的条件,构造关于a的不等式解不等式,得出a的取值范围(1)由题意得,当a=2021时,f (x)=2x-2021,x2021,2021,xx - f (x)恒成立,知|x+1|+|x - a|2恒成立,即(|x+1|+|x - a|)min2.而|x+1|+|x - a|(x+1) - (x - a)|=|1+a|,(绝对值三角不等式的应用)所以|1+a|2,
5、解得a1或a0时, - 2ax6a,则-2a=-2,6a=6,解得a=1;当a0时,6ax - 2a,所以6a=-2,-2a=6,无解.所以实数a的值为1.(2)由已知得g(x)=f (x)+f (x+3)=|x - 2|+|x+1|,即g(x)=-2x+1(x-1),3(-1x2),2x-1(x2),不等式g(x) - tx2即g(x)tx+2,由题意知y=g(x)的图象有一部分不在直线y=tx+2的上方.作出g(x)的图象,如图1所示.由图得,当t0时,tkBM.易知kAM= - 1,kBM=12,所以t - 1或t12,即t的取值范围为( - , - 112,+).2.2018全国卷,2
6、3,10分理已知f (x)=|x+1| - |ax - 1|.(1)当a=1时,求不等式f (x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f (x)x成立,求a的取值范围.考法3 不等式的证明42017全国卷,23,10分理已知a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2 - 2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2 - b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(a+b)(ab(a+b)24的应用)=2+3(
7、a+b)34,(当且仅当a=b时取等号)所以(a+b)38,因此a+b2.3.2019全国卷,23,10分理已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1ca2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.考法4利用绝对值三角不等式或基本不等式或数形结合法求最值5 2019湖北、山东部分重点中学联考已知函数f (x)=|x - 1|+|x+1|.(1)解不等式f (x)2;(2)设函数f (x)的最小值为m,若a,b均为正数,且1a+4b=m,求a+b的最小值.(1) f (x)=-2x,x-1,2,-11,x-1,-2x2或-11,2x2. - 1x1
8、.不等式f (x)2的解集为 - 1,1.(2) |x - 1|+|x+1|(x - 1) - (x+1)|=2,m=2.又1a+4b=2,a0,b0,12a+2b=1.a+b=(a+b)(12a+2b)=52+2ab+b2a52+2=92,当且仅当1a+4b=2,b=2a,即a=32,b=3时等号成立.(a+b)min=92.6 2019全国卷,23,10分理设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)213成立,证明:a - 3或a - 1.(1)根据条件x+y+z=1和基本不等式
9、得到(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)243,讨论x,y,z是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题,基本不等式等号成立时构造的x,y,z代入原不等式,便可得到参数a的取值范围.(1)(x - 1)+(y+1)+(z+1)2=(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x - 1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x - 1)3(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2,因为x+y+z=1,所以(x - 1)+(y+1)+(z+1)2=4.故(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)243,当且仅当x - 1=y+1=z+1,即x=53,y= - 13,z= -
10、 13时等号成立.所以(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)(x - 2)+(y - 1)+(z - a)2=(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2+2(x - 2)(y - 1)+(y - 1)(z - a)+(z - a)(x - 2)3(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2,故由已知得(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)2313,解得a -
11、3或a - 1.4.2019湖南娄底二模已知函数f (x)=|x+1|+2|x - a|.(1)当a=1时,求不等式f (x)7的解集;(2)已知a - 1,且f (x)的最小值等于3,求实数a的值.1.A由题意得,a - c - b,a - cc,b+ca,都正确,不正确.又|a - c|=|c - a|c| - |a|,|c| - |a|c|.正确.故选A.2.(5,7)由|3x - b|4,得 - 43x - b4,即 - 4+b3x4+b3,因为不等式|3x - b|4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则0 - 4+b31,34+b34,解得4b7,5b8,所以5b7.3.4由柯西不等
12、式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)(x+2y+2z)2.因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z24,当且仅当x1=y2=z2时,不等式取等号,此时x=23,y=43,z=43.所以x2+y2+z2的最小值为4.4.43f (t+2) - f (t)=a(t+2)3 - (t+2) - (at3 - t)=2a(3t2+6t+4) - 2,因为存在tR,使得|f (t+2) - f (t)|23,所以 - 232a(3t2+6t+4) - 223有解.因为3t2+6t+41,所以23(3t2+6t+4)a43(3t2+6t+4)有解,所以a43(3t2+6t+4)max=43,所以a的最大值为43.5.( - ,92x1,4,x+4x4,5.分类讨论:当a5时,f (x)=a - x - 4x+a=2a - x - 4x,函数f (x)在区间1,4上的最大值为2a - 4=5,a=92,舍去;当a4时,f (x)=x+4x - a+a=x+4x5,此时符合题意;当4a5时,f (x)max=max|4 - a|+a,|5 -
