微积分初步PPT课件

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1、微积分初步PPT课件 微积分初步微积分初步 1、导数的定义一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是我们称它为函数处的瞬时变化率是我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative），记作或，即），记作或，即000000000()()()()lim lim lim.()x x xf x x f x f x x f x fx x x x x+?+?=+?0()f x0|x x y=0000()()()lim.xf x x f xf xx+?= 2、数根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的三个步骤2.算比值xx f x x fxy?+=)()(1.求增量3.取极限xx

2、f x x fxyyx x?+=)()(lim lim00)()(x f x x f y?+=导数的计算解（ （1）求增量0)()(=?=?+=c cx f x x f y0=xy（ （2）算比值（算比值 （3）取极限这就是说，常数的导数等于零 1、求函数(c是常数)的导数。 c y=下面我们求几个常用函数的导数。 0lim0=xyyx 2、求函数的导数。 y x=00lim lim11.x xyyx=解()()1,y f x x f x x x xx x x+?+?=?在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x的图象，从图象上看，它们的导数分别表示什么？的图象，从图象上看，

3、它们的导数分别表示什么？()f xkx=函数的导函数为yx O()()f xkx k= 3、函数的导数,)(2x x f y=解222()()()2()2y f x x f x x x x x x xx xx x x x+?+?+=+?，00()lim lim (2)2.x xyf x x x xx=+= 4、函数的导数1(),y f xx=11()()1()y f x x f xx x xx x x x x x?+?+=+?，解xx1()lim lim.()x xyf xx x x x x?=?+一般地，可以证明幂函数(是任意实数）的导数公式为x y=1()x nx?=221 (1)y xx

4、?=?2332()2y x xx?=?=?12 (2)y x x=?xx x y2121)(12121=?常数的导数等于零 1、求函数(c是常数)的导数。 c y=下面我们求几个常用函数的导数。 0lim0=xyyx 2、求函数的导数。 y x=00lim lim11.x xyyx=()f xkx=函数的导函数为()().f xkx k=3函数的导数,)(2x x f y=00()lim lim (2)2.x xyf x x xxx=+=一般地，可以证明幂函数(是任意实数）的导数公式为是任意实数）的导数公式为x y=(x)?=x-14函数的导数1(),y f xx=xx1()limlim.()

5、x xyf xxxxxx?=?+基本初等函数的导数公式1(),()f xc f x=、若则0;*2()(),()nf xx nN f x=、若则1;nnx?3()sin,()f xx f x=、若则4()cos,()f xx f x=、若则5(),()xf xa f x=、若则6(),()xf xe f x=、若则7()log,()af xx f x=、若则8()ln,()fxx fx=、若则cos;xsin;x?ln (0);xa a a;xe1(0,1);lna axa且1.x可以帮助我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题。 可以帮助我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题。 1()()

6、()();fx g x fxg x=、导数运算法则2()()()()()();fxg x fxg x fxg x=+?、2()()()()()3()0).()()fx fxg x fxg xg xg xg x?=、 2、熟记运算法则（ （1）（C)=0（ （2）1)(?=xx (3)xx cos)(sin=（ （4）xxsin)(cos?=a xxaln1)(log=（ （7）xx1)(ln=（ （8）（） （5）()lnx xaaa=（ （6）()x xe e=21.()2.()3.()4.()A uAuu v u vuvu vuvu uv uvv v=+?= 1、熟记以下导数公式利用函数的

7、导数来研究函数的极值问题:一般地,当当函数f(x)在x0处连续时时,判别f(x0)是极大是极大(小)值的方法是: (1):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;,0)(,0)(x fx f (2):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.,0)(,0)(f(x1).o aX11X X22X X33X X44b xybxy)(4x f)(1x f在函数取得极值处,如果曲线有切线的话如果曲线有切线的话,则切线是水平的则切线是水平的,从而有.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大但这点的函数值既

8、不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小也不比它附近的点的函数值小.0)(0=xf二阶导数的应用曲线凹凸区间的判定直观看曲线“往上弯”为凹，每点切线在曲线下方；曲线“往下弯”为凸，每点切线在曲线上方。 xy0xy0a bb ay=f(x)y=f(x)a图b图1212a图曲线是凹的,切线的倾斜角为锐角，且由小变大，tan是递增的，则表明0)(x f有tan)(=xf递增，反之亦然。 这就得到0)(xf有f(x)凹；(b）图同理有0)(x f，f(x)凸。 曲线上凹凸的分界点叫做曲线的拐点。 凸。 的地方，凹；的地方，) (0)() (0)(x fx fx fx f进一步观察曲线凹凸性

9、与切线的关系例例1求下列函数的导数并画出函数的大致图像1 (1)1xxeye+=?cos (2)sinx xyxx+=+ (3)sin;0,y xxx=? （4）试证当x0时，有x xxx+)1ln(1微分导数的代数应用如果说用导数判定确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点，是导数在几何上的应用，那么这里“微分”则主要是导数在代数上的应用。 因为“微分”的主要问题是函数的近似计算如何求一个函数的改变量？微分的概念及思想设函数y=f(x)的导数存在，即，由极限的概念令，称它为函数f(x)的微分。 并记，则y)(lim0x fxyx=xx f y x fxy)()(，得xx f dy=)(x

10、dx=dx x f dy)(=例1求函数的微分解需要注意 (1)微分的意义由于，说明可以用微分求函数的改变量，即这里越小近似程度越好。 dx x dx x dx x f dy236)21()(=+=312y x=+y dx x fdy=)(dy yx如下图所示MT是y=f(x)在M点的切线微分，当较小时，可用直线MT来近似曲线MP（或说用三角形MTN近似曲边三角形MPN）。 可见，“以直代曲”是微分的一个基本思想。 于是，可顾名思义，把“微分”看作动词，意思为“无限细分”，而把“微分”看作名词，意思为“微小的一部分”。 dy xx fNT yNP x f=)(,tan)(y dyxx0yMPT

11、Nx X+Xy=f(x) (2)微分的思想 (3)微分的计算由于，因此，“求微分就是求导数”（”（并且在存在的情况下，可微与可导等价）。 于是，由导数公式与法则可直接得到微分的公式与法则，如下表微分基本公式（略）微分四则运算法则微分基本公式（略）微分四则运算法则设u、v是x的可导函数，则dx ydy=2)()()(vudv vduvududvvdu uvddv duvud?=+=例2在下面的括号中以适当的函数填空分析例1求微分是通过求，这里对照，则是其逆运算，已知求原来的函数。 方法在于熟练掌握导数公式首先找到类似的求导公式，然后猜察反推和多次试算方法在于熟练掌握导数公式首先找到类似的求导公式

12、，然后猜察反推和多次试算。 解说明由微分的逆运算求原函数是接下来积分讲的内容，通过求原函数可求不定积分。 xdx d dx eddx x d xdx dxsin)()4()()3()()2()(12=）（dy y求dx ydy=即dx ydy=yxdx xddxe eddx xxdxdx x dx xsin)cos()4()21()3()32()2()21(122232=?=）（微分的近似计算由得到近似公式xx fx fxx fdy y?+)()()(0，即xxfxfxxf+)()()(000例3证明近似公式证明类似地，可以证明当较小时有下面近似公式很小时）（当xxex+1得由公式，取令xxfxfxx fxxxe xfx+=)()()(,0)(0000.1)0()0()0(00xxeexffxf ex+=?+=+=x111 (2)sin (3)tan (4)ln (1)nxx xxnx xxx+（）,0时当xx sinx tanx a