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1、北京科技大学工程力学课件第9章 第9章应力状态、强度理论及其工程应用第第9章应力状态、强度理论及其工程应用9.1应力状态概述9.2二向应力状态分析解析法9.3三向应力状态简介9.4广义胡克定律9.5强度理论概述9.6四种常用强度理论第9章应力状态、强度理论及其工程应用9.1应力状态概述1.应力状态的概念对扭转和弯曲的研究表明，杆件内不同位置的点，一般情况下具有不同的应力。 所以，一个点的应力是该点坐标的函数。 然而就一点来说，通过这个点可以有无数个截面，在不同方位截面上，这个点的应力也不同，即截面上的应力又随截面方位的不同而变化，是截面方位角的函数。 因此，凡提到“应力”，必须指明是哪个点、在
2、哪个方位上。 所谓“一点的应力状态”就是指过一点各个方位截面上的“应力情况”。 应力状态理论就是研究通过一点的不同截面上的应力随截面方位的变化规律。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用2.单元体为了表示一点的应力状态，一般是围绕该点取出一个三个方向尺寸均为无穷小的正六面体，简称为该点的单元体。 在单元体的每个表面上标出已知的应力，称为该点的应力单元体。 由于单元体是无限小的，因此可以认为单元体各面上的应力是均匀的；单元体相互平行的截面上的应力相同，且同等于通过该点的平行面上的应力。 所以，一个点的单元体的应力状态完全可以代表该点的应力状态。 受力构件上一个点的应力单元体不是唯一的，在取单元体
3、时，应尽量使其三对面上的应力容易确定。 一般取三对面中的一对面为杆的横截面，另外两对面分别为垂直于横截面的纵向截面。 图9.1给出了直杆在轴向拉伸时的应力单元体。 图9.2给出了直杆在同时发生扭转和轴向压缩时某些点的应力单元体。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用图9.1第9章应力状态、强度理论及其工程应用图9.2第9章应力状态、强度理论及其工程应用3.主应力、主平面、主单元体在构件内任一点总可以取出一个特殊的单元体，其三个相互垂直的面上都无切应力。 这种切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 这种特殊的单元体称为主应力单元体。 主应力单元体上三个主应力按代数值的大小排列为
4、123。 一般来说，受力构件上的任意点都可以找到三个互相垂直的主平面，因而每一点都有三个主应力。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用4.应力状态分类应力状态可分为单向应力状态、二向应力状态和三向应力状态，如图9.3所示。 单向应力状态三个主应力中只有一个不等于零的情况称为单向应力状态，也称为简单应力状态。 二向应力状态三个主应力中有两个不等于零的情况称为二向应力状态，也称为平面应力状态。 三向应力状态三个主应力都不等于零的情况称为三向应力状态。 二向和三向应力状态也统称为复杂应力状态。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用图9.3第9章应力状态、强度理论及其工程应用9.2二向应力状态分析解析
5、法问题的提出二向应力状态下，已知通过受力构件上一点的某些截面上的应力 (1)求通过该点的其他截面上的应力； (2)确定主平面和主应力。 1.二向应力状态下单元体斜截面上的应力分析方法用一个假想的截面将单元体从所考察的斜面处截为两部分，考察其中任意一部分的平衡，即可由平衡条件求得该斜截面上的正应力和切应力。 这就是截面法，是分析单元体斜截面上应力的基本方法。 公式推导设单元体处于二向应力状态，如图9.4(a)所示，图9.4(b)是单元体的正投影。 已知x,y,xy,yx,斜面倾角为。 求斜面上的正应力和切应力。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用图9.4第9章应力状态、强度理论及其工程应用应力
6、正、负号规定正应力拉为正，压为负；对单元体内任意点的矩为顺时针转向时切应力为正，反之为负。 斜面倾角从x轴正向转到斜截面外法线为逆时针时为正。 按照上述规定，在图9.4(a)(或图9.4(b)中，x、y、xy和都是正的，而yx是负的。 应力符号角标的含义x、y分别表示法线与x、y轴平行的平面上的正应力；切应力xy(或yx)的第一个角标x(或y)表示切应力作用平面的外法线的方向，第二个角标表示切应力的方向平行于y轴(或x轴)。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用用截面把单元体沿ef面(截面ef平行于z轴，与坐标平面xy垂直)截开，保留eaf部分，如图9.4(c)所示。 设ef面的面积是dA，则
7、af面和ae面的面积应分别是dA sin和dA cos，如图9.4(d)所示。 研究三棱柱单元eaf的平衡得F n=0a dA+(xy dAcos)sin(x dAcos)cos+(yx dAsin)cos(y dAsin)sin=0F t=0a dA(xy dAcos)cos(x dAcos)sin+(yx dAsin)sin+(y dAsin)cos=0第9章应力状态、强度理论及其工程应用根据切应力互等定理，yx和xy在数值上相等，代入上面两式，化简后得到?2sin2cos22cos sin2sin cos22xyy x y xxyy x?2cos2sin2)sin(cos cossin
8、cossin22xyy xxyy x?(9.1)(9.2)公式(9.1)和(9.2)就是二向应力状态时任意斜截面上正应力和切应力的计算公式。 它适用于所有二向应力状态，包括单向、纯剪切等特殊的二向应力状态。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用2.主平面和主应力从公式(9.1)和(9.2)中可以看出，斜截面上的正应力和切应力都是斜面倾角的函数，通过函数求极值的方法就可以得到正应力和切应力的极值，并确定它们所在平面的位置。 令02cos2sin22dd?xyy x(a)则可以得到y xxy?22tan0(9.3)第9章应力状态、强度理论及其工程应用由上式可以求出相差90的两个角度 0、0+90，
9、确定相互垂直的两个平面，对应截面上的正应力的极大值和极小值。 比较式(a)和公式(9.2)可以看出正应力的极大值和极小值对应的平面正好是切应力为零的平面，即该平面是主平面。 所以，主应力就是最大或最小的正应力，这也证明了主应力是相互垂直的。 结论在切应力为零的平面上正应力取极大值和极小值，即最大正应力和最小正应力就是主应力，所在的平面为主平面。 将从公式(9.3)中求出的sin20和cos20代入公式(9.1)，就可以求出最大和最小的正应力为第9章应力状态、强度理论及其工程应用22minmax)2(2xyy xy x?(9.4)在 0、0+90所确定的两个互相垂直的平面中，究竟哪个平面上是ma
10、x，哪个平面上是min呢？这个问题的判别方法有许多种，这里仅介绍其中的一种方法。 max所在主平面的外法线矢量总是在xy矢量所指向的那一侧，即如果应力单元体右面上的xy向下(xy0)，则、象限的主平面就是max所在平面；如果应力单元体右面上的xy向上(xy0,min0,min0,则1=max,2=min,3=0。 (3)若max0,min0,则1=0,2=max,3=min。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用3.最大和最小切应力用完全相同的求函数极值的方法，可以求出切应力的最大值和最小值为22min max22minmax?xyy x(9.5)对应的平面倾角为xyy x?22tan1?(9
11、.6)由上式可以求出两个相差90的平面，分别对应最大和最小切应力。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用比较公式(9.3)和(9.6)可以看出21=20+90，1=0+45，即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45。 需要特别指出的是，公式(9.5)所求出的最大切应力，只是垂直于xy平面的斜截面上的切应力之最大值，它不一定是过一点的所有斜截面上的切应力之最大值。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用9.3三向应力状态简介本节简单介绍一下三向应力状态。 设受力构件上某点处于三向应力状态，其主应力单元体如图9.5(a)所示。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用图9.5第9章应力状态、强度理
12、论及其工程应用应用公式(9.5)可以计算出分别平行于 1、2和3三组斜截面上的最大切应力为?22221max331max232max1?(9.7)进一步的分析可以证明，过一点的所有斜截面上的切应力之最大值是上述三个切应力中的最大值，即231max?(9.8)第9章应力状态、强度理论及其工程应用在平行于主应力1的任意斜截面上，正应力和切应力都与1无关。 因此，当研究平行于1的这一组方位面上的应力时，所研究的应力状态可以看做如图9.5(b)所示的平面应力状态，其斜截面上的正应力和切应力可以由公式(9.1)和(9.2)计算。 这时，式中的x=3，y=2，xy=0。 同理，对于平行于主应力2和3方向的
13、另外两组斜截面上的正应力和切应力，则分别与2和3无关。 当研究这两组斜截面上的应力时，也可以将所研究的应力状态看做如图9.5(c)和图9.5(d)所示的平面应力状态。 其斜截面上的应力同样可以由公式(9.1)和(9.2)计算。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用平面应力状态是三向应力状态的特殊情况，因此，计算最大切应力时应该在三向应力状态下考虑，即应根据公式(9.8)来计算。 【例9.1】分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。 解解轴向拉伸时，杆件上任意一点的应力状态为单向应力状态，如图9.1所示。 x=，y=0，xy=0。 根据公式(9.1)和(9.2)
14、可得，任意斜截面上的应力为?2cos22?2sin2?第9章应力状态、强度理论及其工程应用可见，当=45时，切应力取最大值。 本题还可直接根据公式(9.8)求出2max?220231max?结果表明，最大切应力发生在与轴线成45角的斜面上，这正是屈服时试件表面出现滑移线的方向。 因此可以认为，屈服是由最大切应力引起的。 【例例9.2】受力构件上某点的应力状态如图9.6所示。 (1)求45斜截面上的应力； (2)求主应力并确定主平面； (3)求最大切应力。 第9章应力状态、强度理论及其工程应用图9.6第9章应力状态、强度理论及其工程应用解解根据应力的正负规定可以看出x=25MPay=75MPaxy=40M
