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1、第十一单元选修4部分第67讲坐标系课前双击巩固1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:x=x,0,y=y,0的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系(1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的,记为.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的,记为.有序数对(,)叫作点M的极坐标,记作M(,). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极
2、坐标是(,),则它们之间的关系为x=,y=sin,由此得2=,tan=(x0). 3.常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆=r圆心为(r,0),半径为r的圆=2rcos圆心为r,2,半径为r的圆=2rsin(00,y=y,0的作用下所得曲线方程的求法是将x=x,y=y代入y=f(x),得y=fx,整理之后得到y=h(x),即为所求变换之后曲线的方程.平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换x=x,0,y=y,0的作用下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆.式题(1)在同一平面直角坐标系中,已
3、知伸缩变换:x=3x,2y=y,则点A13,-2经过变换后所得的点A的坐标为.(2)双曲线C:x2-y264=1经过伸缩变换:x=3x,2y=y后所得曲线C的焦点坐标为.探究点二极坐标与直角坐标的互化2在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的直角坐标方程为(x-3)2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为y=33x,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;(2)若直线C2与曲线C1交于P,Q两点,求|OP|OQ|的值. 总结反思(1)直角坐标方程化为极坐标方程时,将x=cos及y=sin直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过
4、变形,构造形如cos,sin,2的形式,再进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)及方程两边同时平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.式题2017大庆实验中学月考已知曲线C的极坐标方程为2=9cos2+9sin2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)A,B为曲线C上两个点,若OAOB,求1|OA|2+1|OB|2的值.探究点三简单曲线的极坐标方程及应用32017全国卷在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=4.(1)M为曲线C1上的动
5、点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为2,3,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值. 总结反思曲线的极坐标方程问题通常可先利用互化公式转化为直角坐标系中的相关问题再求解,然后再次利用互化公式即可得相关结论.极坐标方程化为直角坐标方程,只需将cos和sin分别换成x和y即可.式题2017黄冈中学三模在平面直角坐标系xOy中,直线C1:3x+y-4=0,曲线C2:x=cos,y=1+sin(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若曲线C3的极坐标方程为=0,0b0)x=
6、acos,y=bsin(为参数)3.直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是x=x0+tcos,y=y0+tsin(t是参数).若M1,M2是l上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则:(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos,y0+t1sin),(x0+t2cos,y0+t2sin);(2)|M1M2|=|t1-t2|,|M0M1|M0M2|=|t1t2|;(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=t1+t22,中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=|t1+t2|2;(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.课堂考
7、点探究探究点一曲线的参数方程1在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,2a)的直线l的倾斜角为6,点P(x,y)为直线l上的动点,且|AP|=t.圆C以C(2a,2a)为圆心,2为半径,Q(x,y)为圆C上的动点,且CQ与x轴正方向所成的角为.(1)分别以t,为参数,求出直线l和圆C的参数方程;(2)当直线l和圆C有公共点时,求a的取值范围. 总结反思几种常见曲线的参数方程:(1)直线的参数方程.过点P(x0,y0)且倾斜角为的直线l的参数方程为x=x0+tcos,y=y0+tsin(t为参数).(2)圆的参数方程.若圆心为点M0(x0,y0),半径为r,则圆的参数方程为x=x0+rcos,y=
8、y0+rsin(为参数).(3)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的参数方程为x=acos,y=bsin(为参数).(4)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的参数方程为x=acos,y=btan(为参数).(5)抛物线y2=2px(p0)的参数方程为x=2pt2,y=2pt(t为参数).式题2017长沙二模在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为x=1+s,y=1-s(s为参数),曲线C的参数方程为x=t+2,y=t2(t为参数),若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.探究点二参数方程与普通方程的互化22017临汾三模在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3sin-
9、cos,y=3-23sincos-2cos2(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin-4=22m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围. 总结反思(1)消去参数的方法一般有三种:利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数;利用三角恒等式消去参数;根据参数方程本身的结构特征,灵活选用一些方法,从整体上消去参数.(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使两种方程中的x,y的取值范围保持一致.式题2017湖北六校二联已知直线l:x=1+12t,y=36t(t为参数),曲线C1
10、:x=cos,y=sin(为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标缩短为原来的32,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.探究点三直线的参数方程32017雅安三诊平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为sin-4=2.(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;(2)设点P(0,2),直线l和曲线C交于A,B两点,求|PA|+|PB|. 总结反思(1)直线的参数方程有多种形式,只有标准形式
11、中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离.(2)根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义,有如下常用结论:若直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|;若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,下同)的中点,则t1+t2=0;设线段M1M2的中点为M,则点M对应的参数为tM=t1+t22.式题2017鹰潭一模在直角坐标系xOy中,过点P32,32作倾斜角为的直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程;(2)求1|PM|+1|PN|的取值范围.探究点四圆、圆锥曲线的参数方程及应用4在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数,0b,那么;如果bbbb,bc,那么,即ab,bc. (3)如果ab,那么a+c,即aba+c. 推论:如果a
