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1、第一届北京市高中数学知识应用竞赛初赛于1997年12月举行【初赛试题】1乘夏利出租汽车，行程不超过4公里时，车费为10.40元，行程大于4公里但不超过15公里时，超出4公里部分，每公里车费1.60元行程大于15公里后，超出15公里的部分，每公里车费2.40元，途中因红灯等原因而停车等候，每等候5分钟收车费1.60元，又计程器每半公里计一次价，例如，当行驶路程x(公里)满足12x12.5时，按12.5公里计价；当12.5x13时，按13公里计价等候时间每2.5分钟计一次价，例如，等候时间t(分钟)满足2.5t5时，按2.5分钟计价；当5t7.5时，按5分钟计价请回答下列问题(1)若行驶12公里，
2、停车等候3分钟，应付多少车费？(2)若行驶23.7公里，停车等候7分钟，应付多少车费？(3)若途中没有停车等候，所付车费y(元)就是行程x(公里)的函数yf(x)，画出yf(x)(0x7)的图象2某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体(视上、下底为平面)，上下底半径为r，高为h若体积为V，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍，试问当r与h之比是多少时用料最少？(你可以到市场上做一下调查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的计算结果)3中国人民银行前不久公布银行存款利率从97年10月23日起下调，调整后的整存整取年利率如下表：现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存1万元，以供
3、6年后上大学使用若此期间利率不变，问采用怎样的存款方案，可使6年所获收益最大？最大收益是多少？4有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图3111所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为6米，请计算车辆通过隧道时的限制高度是多少米？(精确到0.1米)5“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础，由人口统计年鉴，可查得我国从1949年至1994年人口数据资料如下：试估计我国1999年的人口数6如图3107所示，有一条河MN，河岸的一侧有一很高建筑物AB一人位于
4、河岸另一侧P处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过5米)请你设计一种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度AB及距离PA的公式希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少7一房间的门宽为0.9米，墙厚为0.28米今有一家具其水平截面如图3108，问能否把此家具水平地移入房间内(说明理由)8现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为1233.1(长度单位：米)某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为32.41，第二种为41.50.7若这两种长方体各需900个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？(
5、计算到小数点后面3位)9改革开放以来，土地承包制成为基本政策，经常会遇到类似下面的阿题北京怀柔县某村一农民承包了100亩(中低产)地土地租用费50元/年、亩，农业税10元/年、亩；根据当地气候条件，可以种植小麦、玉米和花生，其种植周期是：10月份(秋天)收玉米后可种冬小麦，第二年6月(夏天)收割小麦，6月份收割小麦后可种玉米，10月份收割玉米，4月份种花生，10月份收割花生，收割花生后可种冬小麦有关冬小麦、花生、玉米三种作物的收支价格及产量如下表所示这位农民每年必须完成20000公斤小麦公粮，每年留足全家1000公斤口粮，另外根据市场预测1996年花生种植面积不宜超过20亩，1997年不宜再种
6、花生试问：这位农民应如何安排从1995年10月秋种至1997年10月秋收的两年生产计划，使他既能完成公粮征购任务，又能留够口粮，并且在100亩土地上取得最大收益？(为了便于计算，不妨假定从19951997年内各种价格不变，产量也不变，并且不计承包人自己的工资，假定卖公粮价与卖余粮价相同)101997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况截流从855开始，当时龙口的水面宽40米，水深60米1150时，播音员报告宽为34.4米，到1300时，播音员又报告水面宽为31米这时，电视机旁的小明说，现在可以估算下午几点合龙从855到1150，进展的速度每小时宽度减少1.9米，从115
7、0到1300，每小时宽度减少2.9米，小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1米从下午1点起，大约要5个多小时，即到下午6点多才能合龙但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：大江截流成功！小明后来想明白了，他估算的方法不好现在请你根据上面的数据，设计一种较合理的估算方法(建立一种较合理的数学模型)进行计算，使你的计算结果更切合实际【初赛试题解答要点与参考答案】1(1)行驶12公里，由题设按12.5公里计价，车费为10.41.6(12.54)24(元)，等候3分钟，由题设按2.5分钟计价，等候费为合计 240.824.8(元)(5分)(2)行驶23.7公里，按24公里计价车
8、费为10.41.6(154)2.4(2415)49.6(元)，等候7分钟，按5分钟计价等候费为合计 49.61.651.2(元)(10分)(3)据题设可得如下x与y的关系，其函数图象为图3110(15分)2易知Vr2h，设材料比重为，侧面材料厚度为b，则用料为A2rhb2r22bp(10分)这样，r与h之比是14时，用料最少(15分)(市场上可口可乐，百事可乐等很多罐装饮料都大体符合这一结果)此段不计分3解法一一年期存两次(按复利计算)获利金额为(四舍五入精确到分)P12104(15.67)21041166.15元两年期存一次获利金额为P221045.941188.00元 P2P12(5分)存
9、一次一年期再存一次两年期的获利金额为P12 104(15.67)(125.94)104 1822.36元三年期存一次获利金额为 P331046.21186300元 P3P12又存一次二年期再存一次三年期的获利金额为P2+3104(125.94)(136.21)1043272.32元五年期存一次的获利金额为P5510 46.663330.00元 p5P2+3三年期存两次的获利金额为P32P3+3104(136.21)21044073.08元两年期存三次的获利金额为P23104(125.94)31044004.17(元) P32P23存一次五年期再存一次一年期的获利金额为P5+1104(156.6
10、6)(15.67)1044085.81(元) P5+1P3+3 Pn+mPm+n，(m，nN)由上述计算推知：存一次五年期一次一年期所获收益最大为4085.81(元)(15分)解法二直接计算P16，P14+2，P12+22，P23，P13+3，P1+2+3，P32，P1+5进行比较，得出P1+5最大4以AB为x轴正方向，AB的中点为原点，建立直角坐标系，于是过点P(4，2)，Q(0，6)的抛物线在该坐标系中的方程为令x3，得因此货车限高3.750.53.253.2(米)答：货车的限高为3.2米(15分)(注：答3.3米也算对)5第一步：在直角坐标系上做出人口数的图形 (5分)第二步：估计出这图
11、形近似地可以看做一条直线(8分)第三步：用以下几种方法之一确定直线方程，并算出1999年人口数，在12.412.6亿之间均算正确答案(15分)方法一：选择能反映直线变化的两个点，例如 (1949，541.67)，(1984，1034.75)二点确定一条直线，方程为：N14.088t26915.842代入t1999，N1246.0712.46(亿)方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t1999代入，分别求出人口数，再取其算术平均值方法三：可采用最通用的“最小二乘法”求出直线方程这里简单地介绍一下最小二乘法设(x1，y1)，(x2，y2)，(xk，yk)是平面直角坐标系下给出的一组数据，
12、若x1x2xk，我们亦可以把这组数据看做是一个离散的函数根据观察，如果这组数据图象“很像”一条直线(不是直线)，我们的问题是确定一条直线ybxa，使得它能最好地反映出这组数据的变化这样可以使第一项、第二项分别取最小，第一项是b的一元二次函由于系数是常数，不妨令l1(xix)2，l2(yiy)(xix)，l3(yiy)2，通过配方有用最小二乘法可以求出N14.51006t27753.54649，代入t1999，得N12.52亿(15分)6常见有两种测量方案方案1 P位于开阔地域，则测量方案如下图3112所示，被测量的数据为PC(测角器的高)和PQ(Q为在PA水平直线上选取的另一测量点)的长度，仰
13、角和(5分)设AB为x，PA为y，则计算公式为方案2 若P处也是一可攀登建筑物(如楼房)，则可在同一垂线上选两个测量点(见图3113)，被测数据为PC和CD的长度，仰角和(5分)设ABx，PAy，则计算公式为说明：无论哪个方案都至少要测4个数据7解法一如图3114，墙厚CD0.28米，家具的一边AB中只要h不超过门宽0.9米，则家具可水平地搬入屋内(5分)从图中可见hAEsin，又AEAGGFFE，其中AG0.48，GFCDcos0.28cos，FEFCctg0.48ctg因此hAEsin(0.480.28cos0.48ctg)sin(10分)0.48(sincos)0.28cossin(15分)解法二在搬运家具时，为了顺利过门，家具的两个边KM、 KN紧贴C、 D，点K的运动轨迹是以CD为直径的半圆周， A点到CD的距离始终不大于AKKO(O是
