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1、衡阳市八中2017届高三第四次月考试题卷理科数学(考试内容: 集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、不等式、推理与证明)命题人：蒋金元、郭端香审题人：赵永益考生注意：本试卷满分150分，考试用时120分钟。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1a为正实数，i为虚数单位，=2，则a=（）A2 B C D12已知集合M1，2，3，4，则集合Px|xM，且2xM的子集的个数为( )A8 B4 C3 D23下列关于命题的说法错误的是（）A命题“若x23x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x2，则x23x+20”B“
2、a=3”是“函数f（x）=logax在定义域上为增函数”的充分不必要条件C若命题p：nN，3n100，则p：nN，3n100D命题“x（，0），3x5x”是真命题4已知数列an是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（）A2B4C6D85已知，则（）A2B3CD6已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）A B C2 D37已知，且，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（）A B C D8已知函数的图像恒过定点A，若直线（）也经过点A，则3m+n的最小值为（）A16 B8 C D149已知：函数，则关于的不等式的解集为（）ABCD10设m1，在
3、约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A（1，）B（，C（1，3）D（3，11已知函数则不等式( )12设函数在R上存在导数，对任意的xR，有，且若，则实数的取值范围为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13已知=4，=2，且=，则与的夹角为_.14已知的最小值为_.15.在直角坐标系中,已知点A(2,0)和B(3,4),若点C在的平分线上,且=5,则=_.16设函数，观察：；根据以上事实，当nN*时，由归纳推理可得：三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1
4、7.（本小题满分10分）已知函数(1)解不等式；(2)求证：18（本小题满分12分）已知函数，（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值（2）求函数的单调递增区间19.(本题满分12分)已知各项都不相等的等差数列an的前六项和为60，且a1=5（1）求数列an的通项公式an及前n项和Sn；（2）若数列满足,求数列的前n项和Tn；（3）请指出当n取何值时，取得最大值，并写出最大值。（可不写理由！）20.(本题满分12分)若向量，其中，记函数，若函数的图像上相邻两个极值点之间的距离是.（1）求的表达式；（2）设三内角的对应边分别为，若，求的面积。21.(本题满分12分)设等差数列的前n项和为，且。（1
5、）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，且，又令，求数列的前n项和22(本题满分12分)设函数（1）若，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围；（2）在（）的条件下，证明：；（3）若对任意实数，都存在实数（1，e）（e为自然对数的底数），使得成立，求实数a的取值范围2017届高三第四次月考试卷（理科数学）一、选择题：（共60分，每题5分）1a为正实数，i为虚数单位，则a=（ B ）A2 B C D12已知集合M1，2，3，4，则集合Px|xM，且2xM的子集的个数为()BA8 B4 C3 D23下列关于命题的说法错误的是（）DA命题“若x23x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x2，则
6、x23x+20”B“a=3”是“函数f（x）=logax在定义域上为增函数”的充分不必要条件C若命题p：nN，3n100，则p：nN，3n100D命题“x（，0），3x5x”是真命题4已知数列an是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（）B A2B4C6D85已知，则（）AA2B3CD6.已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）CA. B. C.2 D.37已知，且，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（）BA B C D8、已知函数y=loga(x+4) -1的图像恒过定点A，若直线（）也经过点A，则3m+n的最小值为（B）A、16 B、
7、8 C、 D、149、已知：函数，则关于的不等式的解集为（A） A、B、C、D、9. A 令,则等价于g(3x+1)+g(x) 0,而显然g(x)= -g(-x),所以g(x)为奇函数，易知g(x)在定义域内单调递增，g(3x+1)g(x), 即g(3x+1) g(x)，由奇函数性质3x+1-x，x 10设m1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（A）A（1，）B（，+）C（1，3）D（3，+）10、解：m1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1m又m1解得m（1，）
8、故选：A11已知函数则不等式( C )12设函数f（x）在R上存在导数f（x），对任意的xR，有f（x）+f（x）=x2，且x（0，+）时，f（x）x若f（2a）f（a）22a，则实数a的取值范围为（B）A1，+）B（，1C（，2D2，+）解：f（x）+f（x）=x2，f（x）x2+f（x）x2=0，令g（x）=f（x）x2，g（x）+g（x）=f（x）x2+f（x）x2=0，函数g（x）为奇函数x（0，+）时，f（x）xx（0，+）时，g（x）=f（x）x0，故函数g（x）在（0，+）上是增函数，故g（x）在（，0）上也是增函数，由f（0）=0，g(0)=0,可得g（x）在R上是增函数f（2
9、a）f（a）22a，等价于f（2a）f（a），即g（2a）g（a），2aa，解得a1，故选：B二、填空题：（共20分，每题5分）13已知|=4，|=2，且|2+|=2，则与的夹角为120。14已知的最小值为_18_.15.在直角坐标系中,已知点A(2,0)和B(3,4),若点C在的平分线上,且=5,则=_16设函数f（x）=（x0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x）=；f3（x）=f（f2（x）=f4（x）=f（f3（x）=根据以上事实，当nN*时，由归纳推理可得：fn（1）=三、解答题：（共70分，每题必需写出相应的步骤）17.已知函数f（x）=|x1|(1)解不等式
10、f（x）+f（x+4）8；(2) ,|b|1，且a0，求证：f（ab）|a|f（）解：（1）f（x）+f（x+4）=|x1|+|x+3|=，当x3时，由2x28，解得x5；当3x1时，f（x）8不成立；当x1时，由2x+28，解得x3所以，不等式f（x）+f（x+4）4的解集为x|x5，或x3（2）f（ab）|a|f（），即|ab1|ab|因为|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2=（a2b22ab+1）（a22ab+b2）=（a21）（b21）0，所以|ab1|ab|，故所证不等式成立18、已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间解：（I）由题设知
11、因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）所以当为偶数时，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）19.(本题满分12分)已知各项都不相等的等差数列an的前六项和为60，且a1=5（1）求数列an的通项公式an及前n项和Sn；（2）若数列满足,求数列的前n项和Tn；（3）请指出当n取何值时，取得最大值，并写出最大值。（可不写理由！）解：（1）各项都不相等的等差数列an的前六项和为60，且a1=5所以60=65+，所以d=2，所以an=2n+3，Sn=n（n+4）（2）因为，所以所以Tn=，所以 (3) 当n=3时,取最大值：20.(本题满分12分)若向量，其中，
12、记函数，若函数的图像上相邻两个极值点之间的距离是.（）求的表达式；（）设三内角的对应边分别为，若，求的面积。20.解：（）由题意可知其周期为，故，则（）由，得，解得又，由余弦定理得，即,由面积公式得面积为.21.(本题满分12分)设等差数列的前n项和为，且。（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，且，又令，求数列的前n项和解析：（1）（2），在由错位相减法可的22(本题满分12分)设函数f（x）=x2bx+alnx（）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，证明：f（x2）；（）若对任意实数b1，2，都存在实数x（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）0成立，求实数a的取值范围解：（）由已知，b=2时，f（x）=x22x+alnx，f（x）的定义域为（0，+），求导数得：f（x）=，f（x）有两个极值点x1，x2，故方程f（x）=0有两个不同的正根x1，x2，故2x22x+a=0的判别式=48a0，即a，且x1+x2=1，x1x2=0，所以a的取值范围为（0，）；（）由（）得：x21且f（x2）=0，得a=2x22，f（x2）=2x2+（2x22）lnx2，令F（t）=t22t+（2t2t2）lnt，（t1），则F（t）=2（12t）lnt，当t（，1）时，F（t）0，F（t）在（，1）上是增函数F（t
