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1、衡阳市八中2017届高三第四次月考试题卷理科数学(考试内容: 集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、不等式、推理与证明)命题人:蒋金元、郭端香审题人:赵永益考生注意:本试卷满分150分,考试用时120分钟。一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1a为正实数,i为虚数单位,=2,则a=()A2 B C D12已知集合M1,2,3,4,则集合Px|xM,且2xM的子集的个数为( )A8 B4 C3 D23下列关于命题的说法错误的是()A命题“若x23x+2=0,则x=2”的逆否命题为“若x2,则x23x+20”B“
2、a=3”是“函数f(x)=logax在定义域上为增函数”的充分不必要条件C若命题p:nN,3n100,则p:nN,3n100D命题“x(,0),3x5x”是真命题4已知数列an是等比数列,且a3=1,a5a6a7=8,则a9=()A2B4C6D85已知,则()A2B3CD6已知公差不为0的等差数列满足成等比数列,为数列的前项和,则的值为()A B C2 D37已知,且,函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于,则的值为()A B C D8已知函数的图像恒过定点A,若直线()也经过点A,则3m+n的最小值为()A16 B8 C D149已知:函数,则关于的不等式的解集为()ABCD10设m1,在
3、约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为()A(1,)B(,C(1,3)D(3,11已知函数则不等式( )12设函数在R上存在导数,对任意的xR,有,且若,则实数的取值范围为()ABCD二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)13已知=4,=2,且=,则与的夹角为_.14已知的最小值为_.15.在直角坐标系中,已知点A(2,0)和B(3,4),若点C在的平分线上,且=5,则=_.16设函数,观察:;根据以上事实,当nN*时,由归纳推理可得:三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)1
4、7.(本小题满分10分)已知函数(1)解不等式;(2)求证:18(本小题满分12分)已知函数,(1)设是函数图象的一条对称轴,求的值(2)求函数的单调递增区间19.(本题满分12分)已知各项都不相等的等差数列an的前六项和为60,且a1=5(1)求数列an的通项公式an及前n项和Sn;(2)若数列满足,求数列的前n项和Tn;(3)请指出当n取何值时,取得最大值,并写出最大值。(可不写理由!)20.(本题满分12分)若向量,其中,记函数,若函数的图像上相邻两个极值点之间的距离是.(1)求的表达式;(2)设三内角的对应边分别为,若,求的面积。21.(本题满分12分)设等差数列的前n项和为,且。(1
5、)求数列的通项公式;(2)设数列的前n项和为,且,又令,求数列的前n项和22(本题满分12分)设函数(1)若,函数有两个极值点,且,求实数的取值范围;(2)在()的条件下,证明:;(3)若对任意实数,都存在实数(1,e)(e为自然对数的底数),使得成立,求实数a的取值范围2017届高三第四次月考试卷(理科数学)一、选择题:(共60分,每题5分)1a为正实数,i为虚数单位,则a=( B )A2 B C D12已知集合M1,2,3,4,则集合Px|xM,且2xM的子集的个数为()BA8 B4 C3 D23下列关于命题的说法错误的是()DA命题“若x23x+2=0,则x=2”的逆否命题为“若x2,则
6、x23x+20”B“a=3”是“函数f(x)=logax在定义域上为增函数”的充分不必要条件C若命题p:nN,3n100,则p:nN,3n100D命题“x(,0),3x5x”是真命题4已知数列an是等比数列,且a3=1,a5a6a7=8,则a9=()B A2B4C6D85已知,则()AA2B3CD6.已知公差不为0的等差数列满足成等比数列,为数列的前项和,则的值为()CA. B. C.2 D.37已知,且,函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于,则的值为()BA B C D8、已知函数y=loga(x+4) -1的图像恒过定点A,若直线()也经过点A,则3m+n的最小值为(B)A、16 B、
7、8 C、 D、149、已知:函数,则关于的不等式的解集为(A) A、B、C、D、9. A 令,则等价于g(3x+1)+g(x) 0,而显然g(x)= -g(-x),所以g(x)为奇函数,易知g(x)在定义域内单调递增,g(3x+1)g(x), 即g(3x+1) g(x),由奇函数性质3x+1-x,x 10设m1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为(A)A(1,)B(,+)C(1,3)D(3,+)10、解:m1故直线y=mx与直线x+y=1交于点,目标函数Z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在点,取得最大值其关系如下图所示:即,解得1m又m1解得m(1,)
8、故选:A11已知函数则不等式( C )12设函数f(x)在R上存在导数f(x),对任意的xR,有f(x)+f(x)=x2,且x(0,+)时,f(x)x若f(2a)f(a)22a,则实数a的取值范围为(B)A1,+)B(,1C(,2D2,+)解:f(x)+f(x)=x2,f(x)x2+f(x)x2=0,令g(x)=f(x)x2,g(x)+g(x)=f(x)x2+f(x)x2=0,函数g(x)为奇函数x(0,+)时,f(x)xx(0,+)时,g(x)=f(x)x0,故函数g(x)在(0,+)上是增函数,故g(x)在(,0)上也是增函数,由f(0)=0,g(0)=0,可得g(x)在R上是增函数f(2
9、a)f(a)22a,等价于f(2a)f(a),即g(2a)g(a),2aa,解得a1,故选:B二、填空题:(共20分,每题5分)13已知|=4,|=2,且|2+|=2,则与的夹角为120。14已知的最小值为_18_.15.在直角坐标系中,已知点A(2,0)和B(3,4),若点C在的平分线上,且=5,则=_16设函数f(x)=(x0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=;f3(x)=f(f2(x)=f4(x)=f(f3(x)=根据以上事实,当nN*时,由归纳推理可得:fn(1)=三、解答题:(共70分,每题必需写出相应的步骤)17.已知函数f(x)=|x1|(1)解不等式
10、f(x)+f(x+4)8;(2) ,|b|1,且a0,求证:f(ab)|a|f()解:(1)f(x)+f(x+4)=|x1|+|x+3|=,当x3时,由2x28,解得x5;当3x1时,f(x)8不成立;当x1时,由2x+28,解得x3所以,不等式f(x)+f(x+4)4的解集为x|x5,或x3(2)f(ab)|a|f(),即|ab1|ab|因为|a|1,|b|1,所以|ab1|2|ab|2=(a2b22ab+1)(a22ab+b2)=(a21)(b21)0,所以|ab1|ab|,故所证不等式成立18、已知函数,(I)设是函数图象的一条对称轴,求的值(II)求函数的单调递增区间解:(I)由题设知
11、因为是函数图象的一条对称轴,所以,即()所以当为偶数时,当为奇数时,(II)当,即()时,函数是增函数,故函数的单调递增区间是()19.(本题满分12分)已知各项都不相等的等差数列an的前六项和为60,且a1=5(1)求数列an的通项公式an及前n项和Sn;(2)若数列满足,求数列的前n项和Tn;(3)请指出当n取何值时,取得最大值,并写出最大值。(可不写理由!)解:(1)各项都不相等的等差数列an的前六项和为60,且a1=5所以60=65+,所以d=2,所以an=2n+3,Sn=n(n+4)(2)因为,所以所以Tn=,所以 (3) 当n=3时,取最大值:20.(本题满分12分)若向量,其中,
12、记函数,若函数的图像上相邻两个极值点之间的距离是.()求的表达式;()设三内角的对应边分别为,若,求的面积。20.解:()由题意可知其周期为,故,则()由,得,解得又,由余弦定理得,即,由面积公式得面积为.21.(本题满分12分)设等差数列的前n项和为,且。(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前n项和为,且,又令,求数列的前n项和解析:(1)(2),在由错位相减法可的22(本题满分12分)设函数f(x)=x2bx+alnx()若b=2,函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1x2,求实数a的取值范围;()在()的条件下,证明:f(x2);()若对任意实数b1,2,都存在实数x(1,e)(e为自然对数的底数),使得f(x)0成立,求实数a的取值范围解:()由已知,b=2时,f(x)=x22x+alnx,f(x)的定义域为(0,+),求导数得:f(x)=,f(x)有两个极值点x1,x2,故方程f(x)=0有两个不同的正根x1,x2,故2x22x+a=0的判别式=48a0,即a,且x1+x2=1,x1x2=0,所以a的取值范围为(0,);()由()得:x21且f(x2)=0,得a=2x22,f(x2)=2x2+(2x22)lnx2,令F(t)=t22t+(2t2t2)lnt,(t1),则F(t)=2(12t)lnt,当t(,1)时,F(t)0,F(t)在(,1)上是增函数F(t