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1、第五节离散型随机变量及其分布列最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用1随机变量的有关概念(1)随机变量:随着试验结果变化而变化的变量,常用字母X,Y,表示(2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量2离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i1,2,n)的概率P(Xxi)pi,以表格的形式表示如下:Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列有时也用等式P
2、(Xxi)pi,i1,2,n表示X的分布列(2)分布列的性质pi0,i1,2,3,n;pi1.3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,则其分布列为X01P1pp其中pP(X1)称为成功概率(2)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(Xk),k0,1,2,m,其中mminM,n,且nN,MN,n,M,NN*,称随机变量X服从超几何分布X01mP一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)离散型随机变量的分布列中,各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(3)如果随机变量X的分布列由
3、下表给出,则它服从两点分布()X25P0.30.7(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1设随机变量X的分布列如下:X12345Pp则p为()A.B.C.D.C由分布列的性质知,p1,p1.2从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量表示所选3人中女生的人数,则P(1)等于()A. B. C. D.DP(1)1P(2)1.3有一批产品共12件,其中次品3件,每次从中任取一件,在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是 0,1,2,3因为次品共有3件,所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,
4、1,2,3.4从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X个红球,则随机变量X的分布列为 X012P0.10.60.3因为X的所有可能取值为0,1,2,P(X0)0.1,P(X1)0.6,P(X2)0.3,所以X的分布列为X012P0.10.60.3考点1离散型随机变量的分布列的性质分布列性质的2个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率1.随机变量X的分布列如下:X101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(|X|1) ,公差d的取值范围是 因为a,b,
5、c成等差数列,所以2bac.又abc1,所以b,所以P(|X|1)ac.又ad,cd,根据分布列的性质,得0d,0d,所以d.2设随机变量X的分布列为Pak(k1,2,3,4,5)(1)求a;(2)求P;(3)求P.解(1)由分布列的性质,得PPPPP(X1)a2a3a4a5a1,所以a.(2)PPPP(X1)345.(3)PPPP. 由于分布列中每个概率值均为非负数,故在利用概率和为1求参数值时,务必要检验教师备选例题设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y2X1的分布列;(2)求随机变量|X1|的分布列;(3)求随机变量X2的分布列解(1)由分
6、布列的性质知,020.10.10.3m1,得m0.3.首先列表为:X012342X113579从而Y2X1的分布列为Y13579P0.20.10.10.30.3(2)列表为X01234|X1|10123P(0)P(X1)0.1,P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3,P(2)P(X3)0.3,P(3)P(X4)0.3.故|X1|的分布列为0123P0.10.30.30.3(3)首先列表为X01234X2014916从而X2的分布列为014916P0.20.10.10.30.3考点2求离散型随机变量的分布列离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个
7、取值所表示的意义(2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率(3)画表格:按规范要求形式写出分布列(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确 已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,P(A).(2)X的可能取值为
8、200,300,400.P(X200),P(X300),P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400P求解本题的关键是明确题设限制条件:“不放回”、“直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束”教师备选例题一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列解(1)由题意知,在7张卡片中,编号为3的卡片有2张,故所求概率为
9、P11.(2)由题意知,X的可能取值为1,2,3,4,且P(X1),P(X2),P(X3),P(X4).所以随机变量X的分布列是X1234P袋子中有1个白球和2个红球(1)每次取1个球,不放回,直到取到白球为止,求取球次数X的分布列;(2)每次取1个球,有放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过5次,求取球次数X的分布列;(3)每次取1个球,有放回,共取5次,求取到白球次数X的分布列解(1)X可能取值1,2,3.P(X1),P(X2),P(X3).所以X分布列为X123P(2)X可能取值为1,2,3,4,5.P(Xk),k1,2,3,4,P(X5).故X分布列为X12345P(3)因为XB,所
10、以X的分布列为P(Xk)Ck,k0,1,2,3,4,5.X012345P考点3超几何分布求超几何分布的分布列的步骤 端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则P(A).(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X0),P(X1),P(X2).综上知,X的分布列为X123P母题探究1在本例条件下,求至少有一个豆沙粽的概率解由题意知,至少有一个豆沙粽的概率PP(X1)P(X1)P(X2).2若
11、本例中的X表示取到的粽子的种类,求X的分布列解由题意知X的所有可能值为1,2,3,且P(X1),P(X3),P(X2)1P(X1)P(X3)1.综上可知,X的分布列为X123P 超几何分布描述的是不放回抽样问题,其实质是古典概型,主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型教师备选例题(2018天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人
12、数,求随机变量X的分布列;设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率【解】(1)由题意得,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)则P(X0),P(X1),P(X3),则P(X2)1,所以,随机变量X的分布列为X0123P设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则ABC,且B与C互斥由知,P(B)P(X2),P(C)P(X1),故P(A)P(BC)P(X2)P(X1).所以,事件A发生的概率为.在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品,从这10件产品中任取3件,求:(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列;