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1、3.2.2复数代数形式的乘除运算学习目标1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则.2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.3.理解并掌握共轭复数的性质及应用知识点一复数的乘法及运算律思考请你探究in(nN*)的取值情况及其规律答案in(nN*)的取值只有i，1，i,1，且具有周期性，具体取值规律为：i4k1i，i4k21，i4k3i，i4k1，kN.梳理(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2
2、)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3知识点二共轭复数思考当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？答案当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数，且有z|z|2|2.事实上，若zabi(a，bR)，那么z(abi)(abi)a2b2.梳理(1)共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数z的共轭复数用表示若zabi(a，bR)，则abi.(2)共轭复数的性质在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称实数的共轭复数是它本身，即zzR，利用
3、这个性质可证明一个复数为实数若z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数a.z|z|2|2；b.|z|；c.z2a，z2bi(zabi，a，bR)知识点三复数的除法法则1复数的除法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)，则i.复数的除法的实质是分母实数化若分母为abi型，则分子、分母同乘abi；若分母为abi型，则分子、分母同乘abi.2实数的平方根设aR，当a0时，a的平方根为0；当a0时，a的平方根是两个实数；当a0时，a的平方根是两个共轭纯虚数i.3虚数的平方根设zabi(a，bR且b0)，xyi(x，yR)是zabi的平方根，则有(xyi)2ab
4、i，即x2y22xyiabi，所以有解方程组求出x，y的值即可1复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减()2两个共轭复数的和与积是实数()3若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()类型一复数的乘、除法运算命题角度1复数乘、除法基本运算例1(1)i(1i)2的值等于()A4B2C2iD4i(2)若复数z满足(1z)(12i)i，则在复平面内表示复数z的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(3)若复数z满足(1i)z2i(i为虚数单位)，则复数z_.考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案(1)B(2)D(3)1i解析(1)i(1i)2i(2i)2.(2)由(1z)(1
5、2i)i，得z1i，在复平面内表示复数z的点的坐标为，位于第四象限(3)z1i.反思与感悟(1)两个复数代数形式乘法的一般运算方法：首先按多项式的乘法展开；再将i2换成1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式(2)常用公式(abi)2a22abib2(a，bR)(abi)(abi)a2b2(a，bR)(1i)22i.跟踪训练1(1)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案2解析因为(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba且1b0，得a2，b1，所以2.(2)已知复数z满足(z2)43i
6、，求z.解设zxyi(x，yR)，则xyi.由题意知，(xyi)(xyi2)43i.得解得或所以zi或zi.命题角度2复数乘除法的灵活运算例2计算下列各式：(1)i2016(i)850；(2)6.考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则解(1)原式i45042(1i)24251(4i)4i25257i.(2)原式22(1)21.反思与感悟复数四则运算的解答策略(1)复数的加法、减法、乘法运算法则可以类比多项式的运算法则，除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式(2)记住一些结论，如(1i)22i，i，i等跟踪训练2(1)2005等于()AiBiC22005
7、D22005考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案A解析原式2004i.(2)计算：2000；1ini2ni2000n(nN*)考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则解原式(i)1000i1ii.当n4k(kN*)时，原式2001.当n4k(kN*)时，原式1.类型二复数运算的综合应用例3试判断方程x2(42i)x32i0是否有实根，并解该方程考点复数乘除法运算法则题点乘除法的综合应用解设x0是方程x2(42i)x32i0的实根，则x(42i)x032i0，整理得(x4x03)(2x02)i0，则解得x01，故该方程有实根根据根与系数的关系，得方程的两个根分别为1,32i.反思
8、与感悟根据复数相等的充要条件解决复系数方程是否有实根问题时，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，化复数问题为实数问题来解决跟踪训练3(1)复数22i的平方根是()A.iB.iCiD(i)(2)已知复数z32i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2pxq0(p，q为实数)的一个根，则pq的值为()A22B36C38D42考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案(1)D(2)C解析(1)设复数22i的平方根为xyi(x，yR)，则x2y22xyi22i，解得或所求平方根为i或i.(2)z32i是关于x的方程2x2pxq0的一个根，2(32i)2p(32i)q
9、0，即2(9412i)3p2piq0，得10q3p(2p24)i0.由复数相等得解得pq38.类型三共轭复数的概念及其应用例4(1)若z，则复数等于()A2iB2iC2iD2i(2)若复数z满足(2i)z5i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模是_考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案(1)D(2)解析(1)z2i，2i.(2)由已知zi(2i)12i，故|z|.反思与感悟(1)已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设zabi(a，bR)，则abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解(2)共轭复数的常用性质：z|z|
10、2|2；，(z20)；若zR，则z，反之亦成立；若z为纯虚数，则z0，反之亦成立跟踪训练4(1)已知i是虚数单位，m，nR，且m2i2ni，则的共轭复数为_考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案i解析m，nR，且m2i2ni，可得m2，n2，i.所以它的共轭复数为i.(2)已知复数z满足：z2zi86i，求复数z的实部与虚部的和考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数解设zabi(a，bR)，则za2b2，a2b22i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得ab4，复数z的实部与虚部的和是4.1若复数z11i，z23i，则z1z2等于()A42iB2iC22iD3i
11、考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案A解析z1z2(1i)(3i)13ii(31)i42i.2若i是虚数单位，则等于()A.iB.iC.iD.i考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案B解析i.3计算：10_.考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案1解析1010(i)101.4若z1a2i，z234i，且为纯虚数，则实数a的值为_考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案解析，根据已知条件，得a.5计算：(1)；(2)(i)547.考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则解(1)原式(1i)23(1i)23(2i)3i(2i)3(i)881616i16i
12、.(2)(i)547i()5(1i)22(1i)2i716(1i)i(161)i.1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1已知i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为()A.B.C.D.考点复数的乘除法运算法则题点运算结果与点的对应答案B解析zi，故复数z在复平面内对应的点为.2已知i为虚数单位，则等于()A23iB23iC23iD23i考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案C解析23i.3(12i)(34i)(2i)等于()A2015iB2015iC2015iD2015i考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案D解析(12i)(34i)(2i)(34i6i8)(2i)(112i)(2i)2211i4i22015i.4
