2020届江苏省南通市四校联盟高三下学期模拟测试数学理试题Word版

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1、江苏省南通市2020届四校联盟高三理模拟测试卷数学试卷一、填空题(共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上)1已知集合,则 2.复数,(其中是虚数单位),则复数的共轭复数为 3设向量(l,k),(2,k3),若,则实数k的值为 14如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为5函数f(x) = 的定义域为 .(-3/4,16已知命题p:1xa0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 5,7 7在正四棱锥SABCD中,点O是底面中心,SO2,侧棱SA2,则该棱锥的体积为 32/38若函数()的图象关于直线对称,则 9已知椭圆(ab0)的离心率,A、B分别是椭圆的

2、左、右顶点,P是椭圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB的倾斜角分别为、,则的值为 10在所在的平面上有一点,满足,则= 11.如图,将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列,从第2行起,每一行都是一个公差为的等差数列,若,则= 312己知x(0,3),则的最小值为 13.若函数f(x) = x3-ax, x0存在零点,则实数a的取值范围为.2,+)14已知,若同时满足条件:,或;,则的取值范围是二、解答题(共6小题,共90分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16(本题满分14分)如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知

3、底面ABCD是菱形,点P是侧棱C1C的中点(1)求证:AC1平面PBD;(2)求证:BDA1P(1)证明:连结交于点,连结,因为四边形是正方形,对角线交于点,所以点是的中点,所以又因为点是侧棱的中点,所以在中,,所以4分又因为,所以平面7分(2)证明:连结.因为为直四棱柱,所以侧棱垂直于底面,又平面,所以因为底面是菱形,所以又,,所以10分又因为,所以,因为,所以,所以14分16(本小题满分14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosB(1)若c2a,求的值;(2)若CB,求sinA的值解:(1)解法1:在ABC中,因为cosB,所以2分因为c2a,所以,即,所以4分又由

4、正弦定理得,所以6分解法2:因为cosB,B(0,),所以sinB2分因为c2a,由正弦定理得sinC2sinA,所以sinC2sin(BC)cosCsinC,即sinC2cosC4分又因为sin2Ccos2C1,sinC0,解得sinC, 所以6分(2)因为cosB,所以cos2B2cos2B18分又0B,所以sinB,所以sin2B2sinBcosB210分因为CB,即CB,所以A(BC)2B,(第17题)所以sinAsin(2B)sincos2Bcossin2B14分17(14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的右焦点为,且过点过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点,点在椭圆上,且满足(1)

5、求椭圆的标准方程;(2)若,求直线的方程.解:(1)由题意可知,且,又因为,解得,2分所以椭圆的标准方程为4分;(2)若直线的斜率不存在,则易得,得,显然点不在椭圆上,舍去5分;因此设直线的方程为,设,将直线的方程与椭圆的方程联立,整理得7分,因为,所以8分,则由,得10分将点坐标代入椭圆的方程,得11分;将带入等式得,12分,因此所求直线的方程为14分设直线的方程为求解亦可(第18题)18(16分)某校要在一条水泥路边安装路灯,其中灯杆的设计如图所示,为地面,为路灯灯杆,在处安装路灯,且路灯的照明张角已知(1)当重合时,求路灯在路面的照明宽度;(2)求此路灯在路面上的照明宽度的最小值解:(1

6、)当重合时,由余弦定理知,所以2分,因为,所以,因为,所以,4分因为,所以6分在中,由正弦定理可知,解得8分;(2)易知到地面的距离,10分由三角形面积公式可知,所以,12分又由余弦定理可知,13分当且仅当时,等号成立,所以,解得14分;答:(1)路灯在路面的照明宽度为;(2)照明宽度的最小值为.16分19(本小题满分16分)已知函数()的图象为曲线(1)求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围;(2)若曲线上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围;(3)试问:是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由

7、【解】(1),则, -4分(2)由(1)可知,-6分得:;-9分(3)设存在过点A的切线曲线C同时切于两点,另一切点为B,过A的切线方程是: ,-11分同理:过B的切线方程是, 则有:,得,-13分 又由, 即 ,即 即, 得,由得,这与矛盾,所以不存在-16分20(本小题满分16分)设各项均为正数的数列的前项和为,已知,且对一切都成立(1) ,求数列的通项公式;若求数列的前项的和(2) 是否存在实数,使数列是等差数列.如果存在,求出的值;若不存在,说明理由.【详解】(1)若,因为则,.又,化简,得. 当时,. ,得,.当时,时上式也成立,数列是首项为1,公比为2的等比数列,.4分因为,所以所

8、以将两式相减得:所以8分(2)令,得.令,得.要使数列是等差数列,必须有,解得.当时,且.10分当时,整理,得,从而,化简,得,所以. 综上所述,所以时,数列是等差数列. 16分数学附加试卷(满分40分,考试时间30分钟)21A(本小题满分10分)己知矩阵,其中,点P(2,2)在矩阵的变换下得到的点Q(2,4)(1)求实数a,b的值:(2)求矩阵A的逆矩阵解:(1)因为,所以所以5分(2),10分21B在极坐标系中,已知 1, 9,线段的垂直平分线与极轴交于点,求的极坐标方程及的面积解:由题意,线段的中点坐标为,设点为直线上任意一点,在直角三角形中,所以,的极坐标方程为,5分令,得,即(8分)所以,的面积为:10分22.(本小题満分10分)(1)求实数m,n的值:(2)若对任意实数x,都有成立.求实数的取值范围.23(本小题满分10分)已知,记(1)求的值;(2)化简的表达式,并证明:对任意的,都能被整除解:(1)3分(2)7分,能被整除10分10第页

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