《高考文数（北京专用）一轮课件：2-第二章 函数 第三节 函数的奇偶性与周期性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考文数（北京专用）一轮课件：2-第二章 函数 第三节 函数的奇偶性与周期性（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 函数的奇偶性与周期性 总纲目录 教材研读 1 函数的奇偶性 考点突破 2 奇 偶 函数的性质 3 周期性 考点二 函数周期性的判断与应用 考点一 函数奇偶性 考点三 函数性质的综合问题 1 函数的奇偶性 教材研读 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 f x f x 那么函数f x 是偶函数 关于 y轴 对称 奇函数如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 f x f x 那么函数f x 是奇函数 关于 原点 对称 2 奇 偶 函数的性质 1 奇 偶 函数的定义域关于原点对称 2 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 偶函数在关 于原点对
2、称的区间上的单调性 相反 3 在公共定义域内 i 两个奇函数的和是 奇函数 两个奇函数的积是 偶函数 ii 两个偶函数的和 积都是 偶函数 iii 一个奇函数 一个偶函数的积是 奇函数 4 若函数f x 是奇函数且在x 0处有定义 则f 0 0 与函数奇偶性有关的结论 1 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 2 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型 即f x 0 x D 其中定 义域D是关于原点对称的非空数集 3 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大 小 值 取最值时的自 变量互为相反数 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数 取最值时的自变量也互为相反数 3 周期性 1
3、 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义 域内的任何值时 都有f x T f x 那么就称函数y f x 为周期函 数 称T为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中 存在一个最小 的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 有关周期函数的几个常用结论 周期函数y f x 满足 1 若f x a f x a 则函数的周期为2 a 2 若f x a f x 则函数的周期为2 a 3 若f x a 则函数的周期为2 a 4 若f x a 则函数的周期为2 a 5 若函数f x 的图象关于直线x a与x b对称 则函数f x 的周期为2
4、 b a 6 若函数f x 的图象既关于点 a 0 对称 又关于点 b 0 对称 则函数f x 的周期是2 b a 7 若函数f x 的图象既关于直线x a对称 又关于点 b 0 对称 则函数f x 的周期是4 b a 8 若函数f x 是偶函数 其图象关于直线x a对称 则其周期为2 a 9 若函数f x 是奇函数 其图象关于直线x a对称 则其周期为4 a 1 2018北京东城期末 下列函数中为偶函数的是 A y x 2 2 B y ln x C y x cos x D y e x 答案 D 偶函数需具备 定义域关于原点对称 满足f x f x 只有 D项符合 故选D D 2 2017北京
5、朝阳期中 下列四个函数中 在其定义域上既是奇函数又是 单调递增函数的是 A y x 1 B y tan x C y x3 D y 答案 C A y x 1是非奇非偶函数 不符合题意 B y tan x是奇函数 但在定义域上不是单调函数 不符合题意 C y x3是奇函数 在定义域上为增函数 符合题意 D y 是奇函数 在定义域上不是单调函数 不符合题意 故选C C 3 2016北京东城二模 已知函数g x f x x是偶函数 且f 3 4 则f 3 A 4 B 2 C 0 D 4 答案 B g x f x x是偶函数 g x g x B g 3 f 3 3 4 3 1 g 3 f 3 3 1 f
6、 3 2 4 2018北京海淀期中 已知函数f x 是定义在R上的周期为2的奇函数 当 0 x 1时 f x 则f f 0 答案 2 解析 函数f x 是定义在R上的奇函数 f 0 0 f f 函数f x 的周期为2 f f 2 f f 0 2 2 5 若函数f x ax2 bx 3a b是偶函数 定义域为 a 1 2a 则a b 答案 0 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称 所以a 1 2a 解得a 由函数f x x2 bx b 1为偶函数 结合偶函数图象的特点 图略 易得b 0 6 2015北京东城一模 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x0时 f x 的解析式为 不等式 f x
7、0时 x 0 f x x2 4 又f x f x f x x2 4 当x 0时 f x x2 4 0 2 x 2 2 x0时 f x x2 4 0 x2 x 2 不等式f x g 1 则x的取值范围是 A 0 10 B 10 C D 10 D 答案 D 解析 g x f x g x f x f x g x g x 为偶函数 又 f x 在 0 上为增函数 g x 在 0 上为减函数 在 0 上为增函数 当 x 越大时 g x 越大 若g lg x g 1 则 lg x 1 lg x 1或lg x10或0 x0时 f x ex 则 f 1 A B C e D e 答案 D 函数f x 是奇函数
8、f 1 f 1 e D 1 3 函数f x 1 是R上的奇函数 x1 x2 R x1 x2 f x1 f x2 0 则f 1 x 0的解集是 A 0 B 0 C 2 D 2 答案 C 由于函数f x 1 是R上的奇函数 故有f x 1 f x 1 令x 0 则 有f 1 f 1 于是有f 1 0 x1 x2 R x1 x2 f x1 f x2 0 则函数f x 在R上单调递减 不等式f 1 x 0 等价于f 1 x 1 解得x 2 故选C C 典例3 1 设f x 是定义在R上的周期为3的函数 当x 2 1 时 f x 则f A 0 B 1 C D 1 2 设定义在R上的函数f x 满足f x
9、 2 f x 且当x 0 2 时 f x 2x x2 则 f 0 f 1 f 2 f 2 016 考点二 函数周期性的判断与应用 答案 1 D 2 1 008 解析 1 因为f x 是周期为3的周期函数 所以f f f 4 2 1 故选D 2 f x 2 f x 函数f x 的周期T 2 又当x 0 2 时 f x 2x x2 所以f 0 0 f 1 1 所以f 0 f 2 f 4 f 2 016 0 f 1 f 3 f 5 f 2 015 1 故f 0 f 1 f 2 f 2 016 1 008 规律总结 判断函数周期性的几个常用结论 若对于函数f x 定义域内的任意一个x都有 1 f x
10、a f x a 0 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 2 f x a a 0 f x 0 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个 周期 3 f x a a 0 f x 0 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个 周期 2 1 已知f x 是定义在R上的偶函数 并且满足f x 2 当2 x 3 时 f x x 则f 105 5 答案 2 5 解析 由f x 2 得f x 4 f x 2 2 f x f x 是以4为周期的周期函数 f 105 5 f 26 4 1 5 f 1 5 f 2 5 4 f 2 5 f x 为偶函数 且当2 x 3时 f x x f 10
11、5 5 f 2 5 f 2 5 2 5 2 5 考点三 函数性质的综合问题 典例4 2016北京东城 上 期中 定义在R上的函数f x 满足f x f x 对 于任意x1 x2 0 0 x2 x1 则 A f 1 f 2 f 3 B f 3 f 1 f 2 C f 2 f 1 f 3 D f 3 f 2 f 1 答案 D 解析 由f x f x 得f x 为偶函数 所以f 2 f 2 f 1 f 1 对于任意x1 x2 0 0 所以当x 0时 f x 为减函数 所以f 3 f 2 f 1 即 f 3 f 2 f 1 故选D D 方法技巧 1 利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性 对称性以及
12、函数的 周期性将自变量转化到指定区间内 然后代入函数解析式求值 2 利用函数性质解不等式问题 主要利用函数的奇偶性与单调性等将 函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系求解 3 1 2016广东广州模拟 已知f x 在R上是奇函数 且满足f x 4 f x 当 x 0 2 时 f x 2x2 则f 7 A 2 B 2 C 98 D 98 答案 A 因为f x 4 f x 所以函数f x 的周期为4 所以f 7 f 7 8 f 1 又因为f x 为奇函数 且当x 0 2 时 f x 2x2 所以f 7 f 1 f 1 2 故选A A 答案 x 1 x 0或0 x 1 3 2 2015北京房山期末 已知奇函数f x 在 0 上为增函数 且f 1 0 则不等式 0的解集为 1 0 1 f x 0的解集为 1 0 1 由 0等价于 或 解得 1 x 0或0 x 1 x 1 x 0或0 x 1 请认请认 真完成作业业 第三节节 函数的奇偶性与 周期性
